Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segundo ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 3x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Nesse método a gente faz:
  1. resolver a parte homogênea associada;
  2. escolher um palpite de solução particular compatível com o termo 3x;
  3. somar homogênea e particular para obter a solução geral.

Passo 2

Vamos à parte homogênea correspondente:
y'' + 4y' + 3y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 3 = 0,
cuja fatoração é (r+1)(r+3)=0. Logo, as raízes são r=-1 e r=-3, e a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p para 3x. Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, fazemos o palpite
y_p = A x + B.
Então
y_p' = A, \quad y_p'' = 0.
Substituindo em y'' + 4y' + 3y:
0 + 4A + 3(Ax + B) = 3Ax + (4A + 3B).
Isso deve ser igual a 3x.

Passo 4

Igualando coeficientes em
3Ax + (4A + 3B) = 3x + 0,
temos o sistema
3A = 3, \quad 4A + 3B = 0.
Da primeira equação vem A = 1. Substituindo na segunda:
4\cdot1 + 3B = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3B = -4 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{4}{3}.
Assim,
y_p = x - \tfrac{4}{3}.

Passo 5

A solução geral da equação dada é a soma de y_h com y_p:
y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} + x - \tfrac{4}{3}.

Resposta

y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} + x - \tfrac{4}{3}.

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