Questão 2 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=36 e^{5 x}
a) Encontre a solução geral
b) Use as condições iniciais y(0)=9 e y^{\prime}(0)=25 e encontre a solução específica.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 36e^{5x}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular para o termo 36e^{5x} e, por fim, aplicamos as condições iniciais y(0)=9 e y'(0)=25.

Passo 2

Para a parte homogênea fazemos a substituição y=e^{rx}, o que leva à equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0.
As raízes são
r = 3 \quad\text{e}\quad r = -1,
logo a solução complementar é
y_c = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma
y_p = A e^{5x}.
Então
y_p' = 5A e^{5x}, \quad y_p'' = 25A e^{5x},
e substituindo na equação original obtemos
25A - 2\cdot5A - 3A = 36
12A = 36
A = 3.
Portanto
y_p = 3e^{5x}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y = y_c + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} + 3e^{5x}.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais. Calculamos
y(0) = C_1 + C_2 + 3 = 9 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 6,
e
y' = 3C_1 e^{3x} - C_2 e^{-x} + 15e^{5x},
então em x=0:
y'(0) = 3C_1 - C_2 + 15 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 3C_1 - C_2 = 10.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 6,\\\\ 3C_1 - C_2 = 10, \end{cases}
somamos as equações para obter 4C_1 = 16, logo C_1 = 4. Substituindo em C_1 + C_2 = 6 C_2 = 2.

Resposta

A solução geral é
y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} + 3e^{5x}.
Com y(0)=9 e y'(0)=25, a solução específica fica
\boxed{y = 4e^{3x} + 2e^{-x} + 3e^{5x}}.

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