Seja um sistema com peso de 65 lb suportado por 3 molas com rigidez \mathrm{k} \mathrm{N} / \mathrm{m} cada uma. Se a unidade opera a 580rpm, qual deve ser o valor de k se somente 10 \% da força pode ser transmitida ao suporte do dispositivo?

Passo 1

O enunciado trata de isolamento de vibração de um corpo de 65,lb apoiado em três molas idênticas de rigidez k (em N/m) cada. A máquina opera a 580,rpm e queremos que apenas 10\% da força de excitação seja transmitida ao suporte. Para resolver, vamos usar a transmissibilidade de força em regime harmônico sem amortecimento, que é
T = \frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|},
onde r = \omega/\omega_n é a razão entre a frequência de excitação e a frequência natural.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades e calculamos a massa equivalente:
\quad– Peso W = 65,lb =65\times 4{,}448,N =289{,}12,N.
\quad– Massa m = W/g = 289{,}12/9{,}81,kg \approx29{,}47,kg.
\quad– Velocidade de excitação 580,rpm =580/60,Hz \approx9{,}667,Hz.
\quad– Frequência angular de excitação \omega = 2\pi \times9{,}667,rad/s.

Passo 3

Impondo T\le0{,}1 e sem amortecimento,
T = \frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|}\le0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|1 - r^2\bigr|\ge10.
Para r>1 (isolamento só ocorre acima da ressonância), temos r^2-1=10, logo
r^2 = 11 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{11}.
Como r = \dfrac{f}{f_n}, onde f=9{,}667,Hz, então
f_n = \frac{f}{\sqrt{11}} \approx \frac{9{,}667}{3{,}317} \approx2{,}913\text{ Hz}.

Passo 4

A frequência natural de um sistema massa-mola é
f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\rm tot}}{m}},
onde k_{\rm tot}=3k é a rigidez equivalente das três molas em paralelo. Isolamos k_{\rm tot}:
k_{\rm tot} = (2\pi f_n)^2\,m = \bigl(2\pi\times2{,}913\bigr)^2\times29{,}47 \approx9{,}877\;\text{N/m}.
Finalmente, a rigidez de cada mola é
k = \frac{k_{\rm tot}}{3} \approx \frac{9{,}877}{3} \approx3{,}292\;\text{N/m}.

Resposta

k \approx3{,}29\times10^3,N/m (ou 3{,}29,kN/m)

Exercícios relacionados