Exemplo 16: Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=0.
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e usaremos o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para provar que a expressão tende a zero.

Passo 2

Primeiro, analisamos o valor absoluto da função para obter uma desigualdade útil. Temos
|f(x,y)| = \left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}.
Usamos a propriedade |y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} para estimar o numerador:
|f(x,y)| \le \frac{x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Em seguida, aproveitamos que x^{2}\le x^{2}+y^{2}, o que implica
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo obtivemos a estimativa
0 \le |f(x,y)| \le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que |f(x,y)|\to0 e, portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Resposta

0

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