Exemplo 16: Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares e o teorema do confronto para mostrar que esse limite é zero.

Passo 2

Fazendo a troca para coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}+y^{2}=r^{2} \quad\text{e}\quad x^{2}y = r^{2}\cos^{2}\theta\,(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
Substituindo em \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, obtemos
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}} =r\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 3

Note que \bigl|\cos^{2}\theta\sin\theta\bigr|\le1 para todo \theta. Assim
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| =\bigl|r\cos^{2}\theta\sin\theta\bigr| \le r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo teorema do confronto concluímos que
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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