Exemplo 2.15. De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?
Solução: O primeiro grupo pode ser escolhido de
modos. Escolhido ol grupo, sobram 4 pessoas e só há 1 modo de formar o segundo grupo. A resposta parece ser
. Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo.
é idêntica a
e foi contada como se fosse diferente. A resposta é
Solução: O primeiro grupo pode ser escolhido de
Passo 1
Enunciado: “De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
pessoas distintas. - Queremos formar exatamente
grupos, cada grupo contendo pessoas. - A divisão trata os grupos como não rotulados (ou seja, a divisão
é idêntica à divisão ).\n
O que se pede: - Contar o número de divisões distintas (partições) das 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada.
Passo 2
Primeira ideia natural: escolher um conjunto de 4 pessoas para ser o “primeiro” grupo. O número de maneiras de escolher
pessoas dentre
é dado pelo coeficiente binomial
Explicando essa fórmula: para
itens distintos e escolher
deles sem ordem, usamos
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. Aqui
e
, então
Passo 3
Calculemos
de maneira prática, simplificando antes de multiplicar números grandes:
Agora simplificamos passo a passo:
- Podemos cancelar
com dando . - Podemos cancelar
com dando . - Podemos cancelar
com o remanescente do denominador, etc.
Fazendo as contas:
Ops — percebi que essa conta levou a
; vamos refazer a simplificação corretamente: ao simplificar com cuidado,
Portanto
(Outra forma:
e
, então
.)
Passo 4
Mas atenção: ao escolher um “primeiro” grupo e depois dizer que o restante forma o “segundo” grupo, estamos contando cada divisão duas vezes. Exemplo concreto: ao escolher
como primeiro grupo, obtemos a divisão
. Mais tarde, escolhendo
como primeiro grupo, obtemos a divisão
, que é a mesma partição (os grupos não são rotulados). Portanto cada partição foi contada duas vezes no total de
.
Para corrigir o excesso de contagem dividimos por
(o número de maneiras de permutar os dois grupos idênticos):
Passo 5
Derivação alternativa (para solidificar a ideia): comece contando permutações ordenadas de todas as
pessoas, isto é
. Em cada divisão não rotulada:
- a ordem dentro de cada grupo de
não importa: divida por duas vezes; - a ordem entre os dois grupos não importa (os grupos são idênticos): divida por
.
Assim o total é
Calculando numericamente:
que coincide com o resultado anterior.
Passo 6
Exemplo menor para treinar a intuição: com
pessoas em
grupos de
, temos
As três divisões (com pessoas
) são
,
,
. Listá-las ajuda a ver por que dividimos por
: cada escolha de um par deixa o outro par automaticamente, e trocar os pares não gera nova divisão.