Exemplo 2.15. De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?
Solução: O primeiro grupo pode ser escolhido de C_{8}^{4} modos. Escolhido ol grupo, sobram 4 pessoas e só há 1 modo de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C_{8}^{4} \times 1. Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo. \{a, b, c, d\}\{e, f, g, h\} é idêntica a \{e, f, g, h\}\{a, b, c, d\} e foi contada como se fosse diferente. A resposta é
\frac{C_{8}^{4} \times 1}{2}=35 .

Passo 1

Enunciado: “De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?”\n
Informações dadas:
  • 8 pessoas distintas.
  • Queremos formar exatamente 2 grupos, cada grupo contendo 4 pessoas.
  • A divisão trata os grupos como não rotulados (ou seja, a divisão \{a,b,c,d\}\{e,f,g,h\} é idêntica à divisão \{e,f,g,h\}\{a,b,c,d\}).\n
    O que se pede:
  • Contar o número de divisões distintas (partições) das 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada.

Passo 2

Primeira ideia natural: escolher um conjunto de 4 pessoas para ser o “primeiro” grupo. O número de maneiras de escolher 4 pessoas dentre 8 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{8}{4}.
Explicando essa fórmula: para n itens distintos e escolher k deles sem ordem, usamos
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1. Aqui n=8 e k=4, então
\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}.

Passo 3

Calculemos \binom{8}{4} de maneira prática, simplificando antes de multiplicar números grandes:
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos passo a passo:
  • Podemos cancelar 4 com 8 dando 2.
  • Podemos cancelar 3 com 6 dando 2.
  • Podemos cancelar 2 com o 2 remanescente do denominador, etc.
Fazendo as contas:
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{(2\cdot7\cdot2\cdot5)}{1} = 2\cdot7\cdot2\cdot5 = 140.
Ops — percebi que essa conta levou a 140; vamos refazer a simplificação corretamente: ao simplificar com cuidado,
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{8}{4}\cdot\frac{6}{3}\cdot\frac{7\cdot5}{2\cdot1} = 2\cdot2\cdot\frac{35}{2} = 4\cdot\frac{35}{2} = 2\cdot35 =70.
Portanto
\binom{8}{4}=70.
(Outra forma: 8!=40320 e 4!=24, então \binom{8}{4}=40320/(24\cdot24)=40320/576=70.)

Passo 4

Mas atenção: ao escolher um “primeiro” grupo e depois dizer que o restante forma o “segundo” grupo, estamos contando cada divisão duas vezes. Exemplo concreto: ao escolher \{a,b,c,d\} como primeiro grupo, obtemos a divisão \{a,b,c,d\}\{e,f,g,h\}. Mais tarde, escolhendo \{e,f,g,h\} como primeiro grupo, obtemos a divisão \{e,f,g,h\}\{a,b,c,d\}, que é a mesma partição (os grupos não são rotulados). Portanto cada partição foi contada duas vezes no total de 70.
Para corrigir o excesso de contagem dividimos por 2 (o número de maneiras de permutar os dois grupos idênticos):
\text{nº de divisões distintas}=\frac{\binom{8}{4}}{2}=\frac{70}{2}=35.ºõ

Passo 5

Derivação alternativa (para solidificar a ideia): comece contando permutações ordenadas de todas as 8 pessoas, isto é 8!. Em cada divisão não rotulada:
  • a ordem dentro de cada grupo de 4 não importa: divida por 4! duas vezes;
  • a ordem entre os dois grupos não importa (os grupos são idênticos): divida por 2!.
    Assim o total é
\frac{8!}{4!\,4!\,2!}.
Calculando numericamente:
\frac{8!}{4!\,4!\,2!}=\frac{40320}{24\cdot24\cdot2}=\frac{40320}{1152}=35,
que coincide com o resultado anterior.

Passo 6

Exemplo menor para treinar a intuição: com 4 pessoas em 2 grupos de 2, temos
\frac{\binom{4}{2}}{2}=\frac{6}{2}=3.
As três divisões (com pessoas a,b,c,d) são \{a,b\}\{c,d\}, \{a,c\}\{b,d\}, \{a,d\}\{b,c\}. Listá-las ajuda a ver por que dividimos por 2: cada escolha de um par deixa o outro par automaticamente, e trocar os pares não gera nova divisão.

Resposta

\;35

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