- Seja
um conjunto
.
a) Quantas são as funções
bijetoras?
a) Quantas são as funções
Passo 1
O enunciado diz: “Seja
um conjunto com
. a) Quantas são as funções
bijetoras?”
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
. - Para existir uma bijeção entre
e é necessário que . Como a questão pede bijeções, vamos assumir que (se , então não existem bijeções, e o número seria ).
Pergunta a responder: quantas funçõesque são bijetoras existem?
Passo 2
Entendendo o que é uma bijeção (explicação didática):
- Uma função
é injetora se elementos distintos de têm imagens distintas em . - É sobrejetora se cada elemento de
é imagem de algum elemento de . - Bijeção significa ser simultaneamente injetora e sobrejetora — isto é, existe uma correspondência “um a um” entre os elementos de
e de .
Portanto, contar bijeções é contar de quantas maneiras podemos emparelhar cada elemento decom exatamente um elemento distinto de , cobrindo todos os elementos de .
Passo 3
Estratégia de contagem (princípio multiplicativo):
Vamos enumerar os elementos de como
(apenas para raciocinar — a contagem não depende da escolha da enumeração). Para construir uma bijeção, escolhemos para
uma imagem em
, depois para
uma imagem em
diferente da escolhida para
, e assim por diante, sempre escolhendo imagens distintas até cobrir todos os
.
Vamos enumerar os elementos de
- Para
há escolhas (qualquer elemento de ). - Depois, para
restam elementos de não usados, então escolhas. - Para
restam escolhas. - Continua assim até o último elemento
, para o qual resta exatamente escolha.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de escolhas é o produto dessas quantidades.
Passo 4
Cálculo do produto e definição de fatorial:
O produto das escolhas é
O produto das escolhas é
Esse produto tem um nome: fatorial de
, denotado por
. Formalmente,
Portanto o número de bijeções é
.
Passo 5
Interpretação alternativa e exemplo para fixar:
Outra forma de ver: uma bijeção corresponde exatamente a um modo de permutar (ordenar) os elementos de
e associar o
-ésimo elemento de
ao
-ésimo elemento dessa ordenação de
. O número de permutações de
objetos é
, então novamente chegamos ao mesmo resultado.
Exemplo concreto: se , então
,
. O número de bijeções é
Outra forma de ver: uma bijeção
Exemplo concreto: se
que corresponde às 6 maneiras de emparelhar os 3 elementos de
com os 3 de
.