1. Seja A um conjunto \operatorname{com} \# A=n.
    a) Quantas são as funções f: A \rightarrow B bijetoras?

Passo 1

O enunciado diz: “Seja A um conjunto com \#A = n. a) Quantas são as funções f: A \rightarrow B bijetoras?”
Informações relevantes que temos:
  • \#A = n.
  • Para existir uma bijeção entre A e B é necessário que \#B = n. Como a questão pede bijeções, vamos assumir que \#B = n (se \#B \neq n, então não existem bijeções, e o número seria 0).
    Pergunta a responder: quantas funções f: A \to B que são bijetoras existem?

Passo 2

Entendendo o que é uma bijeção (explicação didática):
  • Uma função f: A \to B é injetora se elementos distintos de A têm imagens distintas em B.
  • É sobrejetora se cada elemento de B é imagem de algum elemento de A.
  • Bijeção significa ser simultaneamente injetora e sobrejetora — isto é, existe uma correspondência “um a um” entre os elementos de A e de B.
    Portanto, contar bijeções é contar de quantas maneiras podemos emparelhar cada elemento de A com exatamente um elemento distinto de B, cobrindo todos os elementos de B.

Passo 3

Estratégia de contagem (princípio multiplicativo):
Vamos enumerar os elementos de A como a_1,a_2,\dots,a_n (apenas para raciocinar — a contagem não depende da escolha da enumeração). Para construir uma bijeção, escolhemos para a_1 uma imagem em B, depois para a_2 uma imagem em B diferente da escolhida para a_1, e assim por diante, sempre escolhendo imagens distintas até cobrir todos os a_i.
  • Para a_1 \,n escolhas (qualquer elemento de B).
  • Depois, para a_2 restam \,n-1 elementos de B não usados, então \,n-1 escolhas.
  • Para a_3 restam \,n-2 escolhas.
  • Continua assim até o último elemento a_n, para o qual resta exatamente 1 escolha.
    Pelo princípio multiplicativo, o número total de escolhas é o produto dessas quantidades.

Passo 4

Cálculo do produto e definição de fatorial:
O produto das escolhas é
n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1.
Esse produto tem um nome: fatorial de n, denotado por \,n!. Formalmente,
n! = \prod_{k=1}^{n} k = n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1.
Portanto o número de bijeções é \,n!.

Passo 5

Interpretação alternativa e exemplo para fixar:
Outra forma de ver: uma bijeção f:A\to B corresponde exatamente a um modo de permutar (ordenar) os elementos de B e associar o i-ésimo elemento de A ao i-ésimo elemento dessa ordenação de B. O número de permutações de n objetos é \,n!, então novamente chegamos ao mesmo resultado.
Exemplo concreto: se n=3, então \#A=3, \#B=3. O número de bijeções é
3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6,
que corresponde às 6 maneiras de emparelhar os 3 elementos de A com os 3 de B.

Resposta

n!

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