1. De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados Esperança, Confiança e Vitória?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantos modos podemos dividir 15 jogadores em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, sendo os times denominados Esperança, Confiança e Vitória?\n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:\n
  • Temos 15 jogadores distintos (cada jogador é individual).\n
  • Queremos formar 3 grupos (times) com exatamente 5 jogadores em cada grupo.\n
  • Os três times são denominados, ou seja, são distintos entre si: um é Esperança, outro é Confiança e outro é Vitória. Portanto a ordem dos times importa (um jogador no time Esperança é diferente de estar no time Confiança).\n
    A partir daqui começamos a resolver contando cuidadosamente as escolhas.

Passo 2

Conceito que vamos usar: combinação. Vou explicar com calma.\n
  • A combinação \binom{n}{k} (lê-se “ n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher k elementos distintos entre n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.\n
  • Aqui usaremos a ideia de escolher um conjunto de 5 jogadores para um time, depois escolher 5 dos restantes para o segundo time, e os 5 que restarem vão para o terceiro time. Como os times têm nomes (são distintos), não precisamos dividir por permutações dos times.

Passo 3

Aplicando a escolha sequencial (método mais simples e direto):\n
  1. Escolhemos os 5 jogadores do time Esperança entre os 15. O número de maneiras é
\binom{15}{5}.
  1. Dos 10 jogadores restantes, escolhemos 5 para o time Confiança. O número de maneiras é
\binom{10}{5}.
  1. Os 5 jogadores que restarem formam o time Vitória; isso ocorre de 1 maneira, que é
\binom{5}{5}=1.
Como as escolhas são independentes (sequenciais), multiplicamos os números: o total é
\binom{15}{5}\cdot\binom{10}{5}\cdot\binom{5}{5}.

Passo 4

Agora calculamos as combinações explicitamente, mostrando os passos para poder fazer sem calculadora na prova.\n
Calcule \binom{15}{5} usando a fórmula:
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Vamos simplificar passo a passo: o numerador 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11=360360 e o denominador 5!=120. Então
\binom{15}{5}=\frac{360360}{120}=3003.
Agora \binom{10}{5}:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{30240}{120}=252.
E \binom{5}{5}=1.

Passo 5

Multiplicando os valores encontrados:
3003\cdot252\cdot1=3003\cdot252.
Calcule 3003\cdot252 passo a passo (pode fazer na prova por decomposição):
3003\cdot252=3003\cdot(250+2)=3003\cdot250+3003\cdot2=750750+6006=756756.

Passo 6

Outra forma de ver o mesmo resultado (útil para entender): a expressão combinatória pode ser escrita como um multinomial
\frac{15!}{5!\,5!\,5!},
que é algebraicamente igual a \binom{15}{5}\binom{10}{5}\binom{5}{5}. Não dividimos por 3! porque os times são nomeados (Esperança, Confiança, Vitória) — se os times fossem indistintos teríamos que dividir por 3!.

Resposta

756756

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