- De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados Esperança, Confiança e Vitória?
Passo 1
O enunciado pergunta: de quantos modos podemos dividir
jogadores em
times de basquetebol de
jogadores cada, sendo os times denominados Esperança, Confiança e Vitória?\n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:\n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:\n
- Temos
jogadores distintos (cada jogador é individual).\n - Queremos formar
grupos (times) com exatamente jogadores em cada grupo.\n - Os três times são denominados, ou seja, são distintos entre si: um é Esperança, outro é Confiança e outro é Vitória. Portanto a ordem dos times importa (um jogador no time Esperança é diferente de estar no time Confiança).\n
A partir daqui começamos a resolver contando cuidadosamente as escolhas.
Passo 2
Conceito que vamos usar: combinação. Vou explicar com calma.\n
- A combinação
(lê-se “ escolhe ”) é o número de maneiras de escolher elementos distintos entre sem considerar ordem. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é o produto
.\n
- Aqui usaremos a ideia de escolher um conjunto de
jogadores para um time, depois escolher dos restantes para o segundo time, e os que restarem vão para o terceiro time. Como os times têm nomes (são distintos), não precisamos dividir por permutações dos times.
Passo 3
Aplicando a escolha sequencial (método mais simples e direto):\n
- Escolhemos os
jogadores do time Esperança entre os . O número de maneiras é
- Dos
jogadores restantes, escolhemos para o time Confiança. O número de maneiras é
- Os
jogadores que restarem formam o time Vitória; isso ocorre de maneira, que é
Como as escolhas são independentes (sequenciais), multiplicamos os números: o total é
Passo 4
Agora calculamos as combinações explicitamente, mostrando os passos para poder fazer sem calculadora na prova.\n
Calcule usando a fórmula:
Calcule
Vamos simplificar passo a passo: o numerador
e o denominador
. Então
Agora
:
E
.
Passo 5
Multiplicando os valores encontrados:
Calcule
passo a passo (pode fazer na prova por decomposição):
Passo 6
Outra forma de ver o mesmo resultado (útil para entender): a expressão combinatória pode ser escrita como um multinomial
que é algebraicamente igual a
. Não dividimos por
porque os times são nomeados (Esperança, Confiança, Vitória) — se os times fossem indistintos teríamos que dividir por
.