- Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
a) que começam por consoante e terminam por vogal?
b) que têm as letras
juntas nessa ordem?
a) que começam por consoante e terminam por vogal?
b) que têm as letras
Passo 1
O problema pede dois contagens de anagramas da palavra CAPÍTULO. Informações dadas e o que é solicitado:
- A palavra é formada pelas letras
C, A, P, Í, T, U, L, O — ou seja, são 8 letras todas distintas. - Pergunta (a): quantos anagramas de CAPÍTULO começam por consoante e terminam por vogal?
- Pergunta (b): quantos anagramas têm as letras
C, A, P juntas nessa ordem (isto é, como o bloco consecutivo “CAP”)?
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
- Permutação de
objetos distintos: o número de maneiras de ordenar todos eles é n! , onde
Exemplo rápido:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24
.
- Princípio multiplicativo (regra do produto): se uma escolha pode ser feita de
a maneiras e, depois, outra escolha independentemente de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras. - Método do “bloco”: quando exigimos que certas letras fiquem juntas numa ordem fixa, podemos tratá-las como um único objeto para contar as ordenações externas; se a ordem interna for livre, multiplicamos pelas permutações internas desse bloco.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às duas perguntas.
Passo 3
Preparação específica para a palavra:
- Identifico as vogais e consoantes na palavra. As vogais são
A, Í, U, O (total 4 ). As consoantes são C, P, T, L (total 4 ). - Confirmação: total de letras
4+4 = 8 , todas distintas, então a contagem básica sem restrição seria
Passo 4
Resolução da parte (a): “começam por consoante e terminam por vogal”.
- Passo lógico: para construir um anagrama com essa propriedade, escolho primeiro a letra da posição inicial (tem que ser consoante), depois a letra da última posição (tem que ser vogal), e então permuto as demais letras livremente.
- Número de escolhas para a primeira posição:
4 (as consoantes C,P,T,L ). - Número de escolhas para a última posição:
4 (as vogais A,Í,U,O ). Essas escolhas são independentes porque as duas posições são ocupadas por conjuntos disjuntos (nenhuma letra é ao mesmo tempo vogal e consoante). - Depois de fixadas primeira e última, restam
8-2=6 letras para permutar livremente nas posições intermediárias, o que dá 6! maneiras. - Aplicando o princípio multiplicativo:
- Calculo explícito de
6! :
- Portanto
- Interpretação rápida: há
11520 anagramas que começam por consoante e terminam por vogal. Relaxa — o raciocínio foi só escolher extremos e permutar o resto.
Passo 5
Verificação curta da razão (para você se sentir seguro):
- Não há sobrecontagem porque cada anagrama distinto tem exatamente uma letra inicial e uma letra final; como consoantes e vogais são conjuntos disjuntos aqui, cada escolha inicial e final leva a diferentes anagramas e todas as permutações intermediárias são distintas. Tudo consistente.
Passo 6
Resolução da parte (b): “as letras
C, A, P
juntas nessa ordem”.
- Uso do método do bloco: trato a sequência fixa “CAP” como um único super-objeto (um bloco cuja ordem interna já está determinada).
- Então os objetos a permutar são: o bloco “CAP” mais as outras
5 letras Í, T, U, L, O . Isso dá ao todo 6 objetos distintos. - O número de permutações desses
6 objetos é 6! . - Como a ordem dentro do bloco é exigida ser exatamente “CAP”, não multiplicamos por permutações internas do bloco (ou seja, fator
não entra porque a ordem está fixa). - Assim
Passo 7
Resumo final (só reafirmando os resultados antes da resposta final):
- (a) fixando primeira consoante e última vogal:
4\cdot4\cdot6! = 11520 . - (b) bloco “CAP” como sequência fixa:
6! = 720 .
Resposta
11520
720
720