1. Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
    a) que começam por consoante e terminam por vogal?
    b) que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?

Passo 1

O problema pede dois contagens de anagramas da palavra CAPÍTULO. Informações dadas e o que é solicitado:
  • A palavra é formada pelas letras C, A, P, Í, T, U, L, O — ou seja, são 8 letras todas distintas.
  • Pergunta (a): quantos anagramas de CAPÍTULO começam por consoante e terminam por vogal?
  • Pergunta (b): quantos anagramas têm as letras C, A, P juntas nessa ordem (isto é, como o bloco consecutivo “CAP”)?

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Permutação de n objetos distintos: o número de maneiras de ordenar todos eles é n! , onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo rápido: 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24 .
  • Princípio multiplicativo (regra do produto): se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, depois, outra escolha independentemente de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras.
  • Método do “bloco”: quando exigimos que certas letras fiquem juntas numa ordem fixa, podemos tratá-las como um único objeto para contar as ordenações externas; se a ordem interna for livre, multiplicamos pelas permutações internas desse bloco.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às duas perguntas.

Passo 3

Preparação específica para a palavra:
  • Identifico as vogais e consoantes na palavra. As vogais são A, Í, U, O (total 4 ). As consoantes são C, P, T, L (total 4 ).
  • Confirmação: total de letras 4+4 = 8 , todas distintas, então a contagem básica sem restrição seria
8! = 40320.

Passo 4

Resolução da parte (a): “começam por consoante e terminam por vogal”.
  • Passo lógico: para construir um anagrama com essa propriedade, escolho primeiro a letra da posição inicial (tem que ser consoante), depois a letra da última posição (tem que ser vogal), e então permuto as demais letras livremente.
  • Número de escolhas para a primeira posição: 4 (as consoantes C,P,T,L ).
  • Número de escolhas para a última posição: 4 (as vogais A,Í,U,O ). Essas escolhas são independentes porque as duas posições são ocupadas por conjuntos disjuntos (nenhuma letra é ao mesmo tempo vogal e consoante).
  • Depois de fixadas primeira e última, restam 8-2=6 letras para permutar livremente nas posições intermediárias, o que dá 6! maneiras.
  • Aplicando o princípio multiplicativo:
\text{(a)}\quad 4\cdot 4 \cdot 6! = 16\cdot 6!.
  • Calculo explícito de 6! :
6! = 720.
  • Portanto
4\cdot 4 \cdot 6! = 16\cdot 720 = 11520.
  • Interpretação rápida: há 11520 anagramas que começam por consoante e terminam por vogal. Relaxa — o raciocínio foi só escolher extremos e permutar o resto.

Passo 5

Verificação curta da razão (para você se sentir seguro):
  • Não há sobrecontagem porque cada anagrama distinto tem exatamente uma letra inicial e uma letra final; como consoantes e vogais são conjuntos disjuntos aqui, cada escolha inicial e final leva a diferentes anagramas e todas as permutações intermediárias são distintas. Tudo consistente.

Passo 6

Resolução da parte (b): “as letras C, A, P juntas nessa ordem”.
  • Uso do método do bloco: trato a sequência fixa “CAP” como um único super-objeto (um bloco cuja ordem interna já está determinada).
  • Então os objetos a permutar são: o bloco “CAP” mais as outras 5 letras Í, T, U, L, O . Isso dá ao todo 6 objetos distintos.
  • O número de permutações desses 6 objetos é 6! .
  • Como a ordem dentro do bloco é exigida ser exatamente “CAP”, não multiplicamos por permutações internas do bloco (ou seja, fator 3! não entra porque a ordem está fixa).
  • Assim
\text{(b)}\quad 6! = 720.

Passo 7

Resumo final (só reafirmando os resultados antes da resposta final):
  • (a) fixando primeira consoante e última vogal: 4\cdot4\cdot6! = 11520 .
  • (b) bloco “CAP” como sequência fixa: 6! = 720 .

Resposta

11520
720

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