Exemplo 16.1. Calcular \int x \operatorname{sen} x d x.
Solução. Tomaremos u=x, e d v=\operatorname{sen} x d x.
Teremos \mathrm{d} u=1 \mathrm{~d} x=\mathrm{d} x, e v=\int \operatorname{sen} x \mathrm{~d} x.
Para os propósitos da integração por partes, basta tomar v=-\cos x, menosprezando a constante arbitrária da integral v=\int \operatorname{sen} x d x, pois uma tal escolha da função v é suficiente para validar a fórmula 16.2.
Temos então
\begin{aligned} \int x \operatorname{sen} x d x & =\int u \cdot d v \\\ & =u \cdot v-\int v \cdot d u \\\ & =x \cdot(-\cos x)-\int(-\cos x) d x \\\ & =-x \cos x+\int \cos x d x \\\ & =-x \cos x+\operatorname{sen} x+C \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx
Usaremos o método de integração por partes, cujo conteúdo é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \operatorname{sen}x\,dx.
Calculamos
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sen}x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.

Passo 4

Simplificando e integrando o termo restante:
x\cdot(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen}x + C.

Resposta

\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen}x + C.

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