Exemplo 5

EXEMPLO 16.8 Uma compressão a pressão constante

Um gás que ocupa 50,0 \mathrm{~cm}^{3} a 50^{\circ} \mathrm{C} é resfriado a pressão constante até que sua temperatura seja de 10^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o seu volume final?
modelo A pressão do gás não se altera; logo, trata-se de um processo isobárico.
resolução Por definição, p_{1} / p_{2}=1 para um processo isobárico. Usando a lei dos gases ideais para n constante, obtemos:
V_{2}=V_{1} \frac{p_{1}}{p_{2}} \frac{T_{2}}{T_{1}}=V_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}}
As temperaturas devem estar em kelvins para se usar a lei dos gases ideais. Assim,
V_{2}=\left(50,0 \mathrm{~cm}^{3}\right) \frac{(10+273) \mathrm{K}}{(50+273) \mathrm{K}}=43,8 \mathrm{~cm}^{3}
avalıação Uma vez que são utilizadas proporçōes, não precisamos converter volumes ou pressões para unidades do SI. Isso porque a conversão é um fator multiplicativo que se cancela.Todavia, a conversão da temperatura introduz um fator aditivo que não se anula. É por isso que você sempre deve converter temperaturas para kelvins em cálculos sobre gases ideais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Volume inicial: V_{1}=50,0\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_{2}=10^\circ\mathrm{C}.
  • A pressão do gás permanece constante durante o processo.
  • Pergunta: qual é o volume final V_{2}?

Passo 2

Entender a relação que vamos usar — e por quê. Vou explicar a fórmula que relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal e depois simplificar para o caso em que a pressão é constante.
A lei dos gases ideais é
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de substância (número de mols),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta em kelvins.
Se n e p são constantes (como diz o enunciado: pressão constante e assumimos que não há troca de moléculas), então o produto p e nR é constante e podemos isolar a dependência entre V e T. Dividindo a expressão de dois instantes diferentes (1 e 2), obtemos
\frac{pV_{1}}{T_{1}}=nR=\frac{pV_{2}}{T_{2}}.
Como p é o mesmo nos dois estados, ele cancela, restando a proporcionalidade direta entre volume e temperatura absoluta:
\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}.
Dessa igualdade segue a fórmula prática que usaremos:
V_{2}=V_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvins (passo obrigatório). Explico por que: a lei dos gases exige temperatura absoluta — a escala Celsius tem um offset (adição de 273 ou 273{,}15) que não cancela em proporções, então devemos converter.
Calculemos:
T_{1}=50^\circ\mathrm{C}+273\\ =\\\ 323\\ \mathrm{K},
T_{2}=10^\circ\mathrm{C}+273\\ =\\\ 283\\ \mathrm{K}.
(Aqui usei 273 conforme o enunciado do exemplo; se quiser mais precisão, pode usar 273{,}15, mas 273 é suficiente para esta conta.)

Passo 4

Aplicar a fórmula V_{2}=V_{1}\,\dfrac{T_{2}}{T_{1}} com os números convertidos. Primeiro escrevo a expressão com os valores:
V_{2}=\left(50{,}0\\ \mathrm{cm}^{3}\right)\frac{283\\ \mathrm{K}}{323\\ \mathrm{K}}.
Observe que as unidades de kelvin se cancelam na fração, restando a unidade de volume.

Passo 5

Fazer a conta passo a passo, sem pular etapas:
  1. Calcular a razão \dfrac{283}{323}. Vou fazer uma divisão aproximada manual:
    • 323 cabe em 323 uma vez, sobra 0. Para obter duas casas decimais, fazemos a divisão decimal: 283/323\approx0{,}876162\ldots.
  2. Multiplicar por 50{,}0: V_{2}\approx 50{,}0\times 0{,}876162\ldots \approx 43{,}8081\ldots\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final. Em geral, mantemos o número de casas significativas compatível com os dados. V_{1} foi dado como 50{,}0\\ \mathrm{cm}^{3} (três dígitos significativos), então é razoável apresentar V_{2} com três dígitos significativos ou com uma casa decimal, como no enunciado-exemplo.
Arredondando para uma casa decimal:
V_{2}=43{,}8\\ \mathrm{cm}^{3}.
Também vale reforçar: não foi necessário converter o volume de \mathrm{cm}^{3} para \mathrm{m}^{3} porque a relação usada é uma razão multiplicativa e a unidade de volume multiplicaria toda a expressão (teria se cancelado), então podemos trabalhar diretamente com \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

43{,}8\\ \mathrm{cm}^{3}

Exercícios relacionados