Exemplo 4
EXEMPLO 16.6 Um termômetro de gás a volume constante
Um termômetro de gás a volume constante é colocado em contato com uma célula de referência que contém água no ponto triplo. Após atingir o equilíbrio, a pressão do gás é registrada como
. O termômetro, então, é posto em contato com uma amostra a uma temperatura desconhecida. Depois que o termômetro atinge um novo equilíbrio, a pressão do gás é de
. Qual é a temperatura da amostra?
modelo O volume do termômetro não se altera; logo, trata-se de um processo isocórico.
RESOLUçÃo No ponto triplo da água, a temperatura é
. A lei dos gases ideais para um sistema fechado é
. O volume não sofre alteração, portanto
. Desta forma,
A temperatura deve estar em kelvins para que realizemos o cálculo, embora seja comum converter a resposta final de volta para
. O fato de que as pressões foram dadas com quatro algarismos significativos justifica o uso de
, em vez da relação usual
. AVALIAÇÃo Obtivemos
, que é o esperado para um aumento da pressão.
modelo O volume do termômetro não se altera; logo, trata-se de um processo isocórico.
RESOLUçÃo No ponto triplo da água, a temperatura é
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a temperatura da amostra quando o termômetro (gás a volume constante) atinge equilíbrio com ela. Dados fornecidos:
Informação adicional implícita: o volume do termômetro não muda (processo isocórico). Pergunta: qual é a temperatura final
da amostra (em kelvins e/ou em
)?
Passo 2
Apresentando a lei dos gases ideais para um sistema fechado (explicando cada coisa): para um dado número de moles de gás, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada por
Aqui:
-
é a pressão do gás (qualquer unidade consistente, por exemplo ), -
é o volume do gás, -
é a temperatura absoluta em kelvins ( ).
Essa relação é a forma da lei dos gases ideais que mostra que, se duas destas grandezas mudam e a terceira permanece constante, as outras se relacionam proporcionalmente.
Passo 3
Especializando ao caso isocórico (volume constante): se
não muda, então
e da lei dos gases ideais para os dois estados temos
Como
, podemos cancelar
dos dois lados, ficando
Isto significa que, em um processo isocórico sobre um número fixo de moles de gás, a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta.
Passo 4
Isolando
da equação
, obtemos a fórmula prática que usaremos:
Aqui
e
devem estar em
(kelvins) para que a proporcionalidade funcione corretamente; as pressões podem estar em qualquer unidade desde que a mesma seja usada para
e
(a razão cancela as unidades).
Passo 5
Substituindo os valores numéricos conhecidos na fórmula. Observação sobre
: como a referência é o ponto triplo da água dado no enunciado como
, usamos a conversão mais precisa para kelvins:
As pressões são dadas em
, ambas na mesma unidade, logo podemos usar diretamente:
Passo 6
Calcule a razão das pressões passo a passo:
Podemos escrever isso como
Calculando a fração:
portanto
Passo 7
Agora multiplicamos pelo
:
Para visualizar o cálculo, podemos separar:
Calcule a segunda parcela:
logo
Arredondando de forma razoável (consistência com algarismos significativos dos dados), obtemos
Passo 8
Converter para graus Celsius (lembrando que
):
Comentário de checagem rápida: a pressão aumentou de
para
, então esperávamos
; o resultado confirma isso.