Exemplo 4

EXEMPLO 16.6 Um termômetro de gás a volume constante

Um termômetro de gás a volume constante é colocado em contato com uma célula de referência que contém água no ponto triplo. Após atingir o equilíbrio, a pressão do gás é registrada como 55,78 \mathrm{kPa}. O termômetro, então, é posto em contato com uma amostra a uma temperatura desconhecida. Depois que o termômetro atinge um novo equilíbrio, a pressão do gás é de 65,12 \mathrm{kPa}. Qual é a temperatura da amostra?
modelo O volume do termômetro não se altera; logo, trata-se de um processo isocórico.
RESOLUçÃo No ponto triplo da água, a temperatura é T_{1}=0,01^{\circ} \mathrm{C}= 273,16 \mathrm{~K}. A lei dos gases ideais para um sistema fechado é p_{2} V_{2} / T_{2}= p_{1} V_{1} / T_{1}. O volume não sofre alteração, portanto V_{2} / V_{1}=1. Desta forma,
\begin{aligned} T_{2} & =T_{1} \frac{V_{2}}{V_{1}} \frac{p_{2}}{p_{1}}=T_{1} \frac{p_{2}}{p_{1}}=(273,16 \mathrm{~K}) \frac{65,12 \mathrm{kPa}}{55,78 \mathrm{kPa}} \\\ & =318,90 \mathrm{~K}=45,75^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned}
A temperatura deve estar em kelvins para que realizemos o cálculo, embora seja comum converter a resposta final de volta para { }^{\circ} \mathrm{C}. O fato de que as pressões foram dadas com quatro algarismos significativos justifica o uso de T_{\mathrm{K}}=T_{\mathrm{C}}+273,15, em vez da relação usual T_{\mathrm{K}}=T_{\mathrm{C}}+273. AVALIAÇÃo Obtivemos T_{2}>T_{1}, que é o esperado para um aumento da pressão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a temperatura da amostra quando o termômetro (gás a volume constante) atinge equilíbrio com ela. Dados fornecidos:
p_1 = 55,78\\ \mathrm{kPa}
T_1 = 0,01^\circ\mathrm{C} = 273,16\\ \mathrm{K}
p_2 = 65,12\\ \mathrm{kPa}
Informação adicional implícita: o volume do termômetro não muda (processo isocórico). Pergunta: qual é a temperatura final T_2 da amostra (em kelvins e/ou em ^\circ\mathrm{C})?

Passo 2

Apresentando a lei dos gases ideais para um sistema fechado (explicando cada coisa): para um dado número de moles de gás, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada por
\frac{pV}{T}=\text{constante}.
Aqui:
  • p é a pressão do gás (qualquer unidade consistente, por exemplo \mathrm{kPa}),
  • V é o volume do gás,
  • T é a temperatura absoluta em kelvins ( \mathrm{K}).
    Essa relação é a forma da lei dos gases ideais que mostra que, se duas destas grandezas mudam e a terceira permanece constante, as outras se relacionam proporcionalmente.

Passo 3

Especializando ao caso isocórico (volume constante): se V não muda, então V_1=V_2 e da lei dos gases ideais para os dois estados temos
\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}.
Como V_1=V_2, podemos cancelar V dos dois lados, ficando
\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}.
Isto significa que, em um processo isocórico sobre um número fixo de moles de gás, a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta.

Passo 4

Isolando T_2 da equação \dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}, obtemos a fórmula prática que usaremos:
T_2 = T_1\frac{p_2}{p_1}.
Aqui T_1 e T_2 devem estar em \mathrm{K} (kelvins) para que a proporcionalidade funcione corretamente; as pressões podem estar em qualquer unidade desde que a mesma seja usada para p_1 e p_2 (a razão cancela as unidades).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos conhecidos na fórmula. Observação sobre T_1: como a referência é o ponto triplo da água dado no enunciado como 0,01^\circ\mathrm{C}, usamos a conversão mais precisa para kelvins:
T_1 = 273,16\\ \mathrm{K}.
As pressões são dadas em \mathrm{kPa}, ambas na mesma unidade, logo podemos usar diretamente:
T_2 = (273,16\\ \mathrm{K})\cdot\frac{65,12\\ \mathrm{kPa}}{55,78\\ \mathrm{kPa}}.

Passo 6

Calcule a razão das pressões passo a passo:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{65,12}{55,78}.
Podemos escrever isso como
\frac{p_2}{p_1}=1+\frac{65,12-55,78}{55,78}=1+\frac{9,34}{55,78}.
Calculando a fração:
\frac{9,34}{55,78}\approx 0,167474,
portanto
\frac{p_2}{p_1}\approx 1,167474.

Passo 7

Agora multiplicamos pelo T_1:
T_2 \approx 273,16\cdot 1,167474.
Para visualizar o cálculo, podemos separar:
T_2 \approx 273,16 + 273,16\cdot 0,167474.
Calcule a segunda parcela:
273,16\cdot 0,167474\approx 45,744,
logo
T_2 \approx 273,16 + 45,744 = 318,904\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma razoável (consistência com algarismos significativos dos dados), obtemos
T_2 \approx 318,90\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Converter para graus Celsius (lembrando que \;T(\!^\circ\mathrm{C})=T(\mathrm{K})-273,15\;):
T_2(^{\circ}\mathrm{C}) = 318,90 - 273,15 = 45,75\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Comentário de checagem rápida: a pressão aumentou de 55,78\\ \mathrm{kPa} para 65,12\\ \mathrm{kPa}, então esperávamos T_2>T_1; o resultado confirma isso.

Resposta

T_2 \approx 318,90\\ \mathrm{K}
T_2 \approx 45,75\\ ^{\circ}\mathrm{C}

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