Exemplo 6
EXEMPLO 16.9 Uma compressão à temperatura constante
Um cilindro cheio de gás, com um pistão de encaixe bem justo e móvel, contém
de ar a
. Ele flutua em uma piscina com água a
. A seguir, o cilindro é lentamente submerso até uma profundidade de
. Qual será o volume de gás a essa profundidade?
modelo A temperatura do gás praticamente não se altera durante o processo; logo, trata-se de uma compressão isotérmica.
resolução Na superfície, a pressão dentro do cilindro deve ser exatamente igual à pressão externa do ar, de
. Se as pressões não fossem iguais, uma força resultante empurraria o pistão ou o puxaria até que as pressões fossem equivalentes e o equilíbrio fosse atingido. Conforme o cilindro é submerso, a pressão crescente da água empurra o pistão e comprime o gás. À profundidade
, o equilíbrio exige que a pressão do gás dentro do cilindro seja igual à pressão externa da água,
, onde
atm é a pressão na superfície. Desde que o cilindro se movimente lentamente, o gás permanecerá na mesma temperatura que a água circundante. O valor de
não é importante; tudo de que precisamos é saber que a compressão é isotérmica. Neste caso, uma vez que
,
A pressão inicial
deve estar em unidades do SI:
. Então, um cálculo imediato resulta em
.
AVALIAÇĀO O volume
é menor do que
. Isso é esperado porque o gás foi comprimido.
modelo A temperatura do gás praticamente não se altera durante o processo; logo, trata-se de uma compressão isotérmica.
resolução Na superfície, a pressão dentro do cilindro deve ser exatamente igual à pressão externa do ar, de
AVALIAÇĀO O volume
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do gás dentro do cilindro quando ele está a uma profundidade de
na água, sabendo que o processo é feito lentamente e a temperatura do gás permanece igual à da água.
Informações dadas (tudo que o enunciado fornece ou que devemos usar):
(volume inicial do gás à superfície),
(pressão externa e interna na superfície),
(profundidade final),
a temperatura é praticamente constante durante o processo (diz-se que a compressão é isotérmica).
Valores que vamos usar (valores padrão): (densidade da água) e
(aceleração da gravidade).
a temperatura é praticamente constante durante o processo (diz-se que a compressão é isotérmica).
Valores que vamos usar (valores padrão):
Passo 2
Por que a temperatura constante importa e qual fórmula usar: em uma compressão isotérmica (mesma temperatura), a lei dos gases ideais reduz-se à relação de Boyle-Mariotte: o produto da pressão pelo volume é constante. Em linguagem matemática, a partir de
com
constante segue-se que
Logo,
Aqui
é o volume buscado e
é a pressão do gás quando o cilindro está submerso a profundidade
. Então precisamos calcular
.
Passo 3
Qual a pressão externa a essa profundidade: a pressão absoluta na profundidade
na água é a soma da pressão atmosférica na superfície com o acréscimo devido à coluna de água. A fórmula da pressão hidrostática é
onde
é a pressão na superfície (
neste problema),
é a densidade do fluido e
é a gravidade. Esclarecendo as variáveis:
= pressão absoluta a profundidade
, em unidades do SI (Pa),
= pressão na superfície =
, em Pa,
=
,
=
,
=
.
Passo 4
Converter
para unidades do SI e calcular o aumento de pressão pela coluna de água. A pressão atmosférica:
O aumento de pressão pela água é
Passo 5
Calcular a pressão total a
:
(Arredondando às cifras que interessam podemos usar
.)
Passo 6
Aplicar a relação de Boyle para obter
:
Observação sobre unidades:
está em
. Como a relação envolve apenas a razão de pressões, podemos manter
em
e o resultado virá em
(importante: as pressões precisam estar em unidades consistentes, por isso convertemos
para Pa).
Substituindo números:
Passo 7
Fazer a divisão e a multiplicação com explicação passo a passo (sem calculadora): primeiro simplificamos os fatores
:
Multiplicando pelo volume inicial:
Arredondando de forma sensata (dados com 3 valores significativos), obtemos
Passo 8
Checagem de consistência e interpretação: o volume diminuiu de
para cerca de
, o que faz sentido porque a pressão aumentou ao mergulhar o cilindro e o gás foi comprimido isotermicamente. A ordem de grandeza e a redução (~22,5%) são razoáveis para apenas
de profundidade.