Exemplo 6

EXEMPLO 16.9 Uma compressão à temperatura constante

Um cilindro cheio de gás, com um pistão de encaixe bem justo e móvel, contém 200 \mathrm{~cm}^{3} de ar a 1,0 \mathrm{~atm}. Ele flutua em uma piscina com água a 15^{\circ} \mathrm{C}. A seguir, o cilindro é lentamente submerso até uma profundidade de 3,0 \mathrm{~m}. Qual será o volume de gás a essa profundidade?
modelo A temperatura do gás praticamente não se altera durante o processo; logo, trata-se de uma compressão isotérmica.
resolução Na superfície, a pressão dentro do cilindro deve ser exatamente igual à pressão externa do ar, de 1,0 \mathrm{~atm}. Se as pressões não fossem iguais, uma força resultante empurraria o pistão ou o puxaria até que as pressões fossem equivalentes e o equilíbrio fosse atingido. Conforme o cilindro é submerso, a pressão crescente da água empurra o pistão e comprime o gás. À profundidade d, o equilíbrio exige que a pressão do gás dentro do cilindro seja igual à pressão externa da água, p_{\text {agm }}=p_{0}+\rho g d, onde p_{0}=1,0 atm é a pressão na superfície. Desde que o cilindro se movimente lentamente, o gás permanecerá na mesma temperatura que a água circundante. O valor de T não é importante; tudo de que precisamos é saber que a compressão é isotérmica. Neste caso, uma vez que T_{2} / T_{1}=1,
V_{2}=V_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{p_{1}}{p_{2}}=V_{1} \frac{p_{1}}{p_{2}}=V_{1} \frac{p_{0}}{p_{0}+\rho g d}
A pressão inicial p_{0} deve estar em unidades do SI: p_{0}=1,0 \mathrm{~atm}=1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Então, um cálculo imediato resulta em V_{2}=155 \mathrm{~cm}^{3}.
AVALIAÇĀO O volume V_{2} é menor do que V_{1}. Isso é esperado porque o gás foi comprimido.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do gás dentro do cilindro quando ele está a uma profundidade de 3,0\\ \mathrm{m} na água, sabendo que o processo é feito lentamente e a temperatura do gás permanece igual à da água.
Informações dadas (tudo que o enunciado fornece ou que devemos usar):
V_1 = 200\\ \mathrm{cm}^3 (volume inicial do gás à superfície),
p_1 = 1{,}0\\ \mathrm{atm} (pressão externa e interna na superfície),
d = 3{,}0\\ \mathrm{m} (profundidade final),
a temperatura é praticamente constante durante o processo (diz-se que a compressão é isotérmica).
Valores que vamos usar (valores padrão): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade da água) e g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (aceleração da gravidade).

Passo 2

Por que a temperatura constante importa e qual fórmula usar: em uma compressão isotérmica (mesma temperatura), a lei dos gases ideais reduz-se à relação de Boyle-Mariotte: o produto da pressão pelo volume é constante. Em linguagem matemática, a partir de pV = nRT com T constante segue-se que
p_1 V_1 = p_2 V_2.
Logo,
V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2}.
Aqui V_2 é o volume buscado e p_2 é a pressão do gás quando o cilindro está submerso a profundidade d. Então precisamos calcular p_2.

Passo 3

Qual a pressão externa a essa profundidade: a pressão absoluta na profundidade d na água é a soma da pressão atmosférica na superfície com o acréscimo devido à coluna de água. A fórmula da pressão hidrostática é
p_2 = p_0 + \rho g d,
onde p_0 é a pressão na superfície ( =p_1 neste problema), \rho é a densidade do fluido e g é a gravidade. Esclarecendo as variáveis:
p_2 = pressão absoluta a profundidade d, em unidades do SI (Pa),
p_0 = pressão na superfície = p_1, em Pa,
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
d = 3{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter p_0 para unidades do SI e calcular o aumento de pressão pela coluna de água. A pressão atmosférica:
p_0 = 1{,}0\\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O aumento de pressão pela água é
\Delta p = \rho g d = 1000\cdot 9{,}8\cdot 3{,}0 = 29400\\ \mathrm{Pa} = 2{,}94\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a pressão total a 3{,}0\\ \mathrm{m}:
p_2 = p_0 + \Delta p = 1{,}013\times10^{5} + 2{,}94\times10^{4} = 1{,}3074\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondando às cifras que interessam podemos usar p_2 \approx 1{,}307\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 6

Aplicar a relação de Boyle para obter V_2:
V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2}.
Observação sobre unidades: V_1 está em \mathrm{cm}^3. Como a relação envolve apenas a razão de pressões, podemos manter V_1 em \mathrm{cm}^3 e o resultado virá em \mathrm{cm}^3 (importante: as pressões precisam estar em unidades consistentes, por isso convertemos p_0 para Pa).
Substituindo números:
V_2 = 200\\ \mathrm{cm}^3 \cdot \frac{1{,}013\times10^{5}}{1{,}3074\times10^{5}}.

Passo 7

Fazer a divisão e a multiplicação com explicação passo a passo (sem calculadora): primeiro simplificamos os fatores 10^{5}:
\frac{1{,}013\times10^{5}}{1{,}3074\times10^{5}}=\frac{1{,}013}{1{,}3074}\approx 0{,}7748\quad(\text{aproximação}).çã
Multiplicando pelo volume inicial:
V_2 \approx 200\cdot 0{,}7748 = 154{,}96\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando de forma sensata (dados com 3 valores significativos), obtemos
V_2 \approx 155\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Checagem de consistência e interpretação: o volume diminuiu de 200\\ \mathrm{cm}^3 para cerca de 155\\ \mathrm{cm}^3, o que faz sentido porque a pressão aumentou ao mergulhar o cilindro e o gás foi comprimido isotermicamente. A ordem de grandeza e a redução (~22,5%) são razoáveis para apenas 3{,}0\\ \mathrm{m} de profundidade.

Resposta

155\\ \mathrm{cm}^3

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