Um elétron que tem velocidade \left.\mathbf{v}=2 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \mathbf{i}+\left(3 \times 10^{6}\right. \mathrm{m} / \mathrm{s}) \mathbf{j} penetra num campo magnético \mathbf{B}=(0,030 \mathrm{~T}) \mathbf{i}+(0,15 T)j.
Determine o módulo, direção e o sentido da força sobre o elétron.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o módulo, a direção e o sentido da força sobre um elétron que entra num campo magnético. Dados fornecidos:
\mathbf{v} = 2\times 10^{6}\,\mathrm{m/s}\,\mathbf{i} + 3\times 10^{6}\,\mathrm{m/s}\,\mathbf{j}
\mathbf{B} = 0{,}030\,\mathrm{T}\,\mathbf{i} + 0{,}15\,\mathrm{T}\,\mathbf{j}
Também sabemos (informação física padrão) que a carga do elétron é \;q = -e = -1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
O que precisamos entregar:
  • o módulo (valor numérico) da força \mathbf{F};
  • a direção (eixo ao longo do qual a força aponta);
  • o sentido (para o sentido \mathbf{+k} ou \mathbf{-k}, por exemplo).

Passo 2

Lei física que usamos: força magnética (força de Lorentz, apenas a parte magnética) sobre uma carga em movimento é
\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Explicando: \mathbf{v} é a velocidade (vetor), \mathbf{B} é o campo magnético (vetor), \times é o produto vetorial (ou produto cruzado), e q é a carga elétrica. O produto vetorial produz um vetor perpendicular aos dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{B}. Para cargas negativas (como o elétron) a força aponta no sentido oposto ao vetor \mathbf{v}\times\mathbf{B}.

Passo 3

Como calcular o produto vetorial em componentes: para
\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k},\qquad \mathbf{B} = B_x\mathbf{i} + B_y\mathbf{j} + B_z\mathbf{k},
temos
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \big(v_y B_z - v_z B_y\big)\mathbf{i} - \big(v_x B_z - v_z B_x\big)\mathbf{j} + \big(v_x B_y - v_y B_x\big)\mathbf{k}.
No nosso caso v_z=0 e B_z=0. Portanto as componentes \mathbf{i} e \mathbf{j} do produto cruzado serão zero, sobrando apenas a componente em \mathbf{k}:
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \big(v_x B_y - v_y B_x\big)\mathbf{k}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
v_x = 2\times10^{6}\,\mathrm{m/s},\qquad v_y = 3\times10^{6}\,\mathrm{m/s},
B_x = 0{,}030\,\mathrm{T},\qquad B_y = 0{,}15\,\mathrm{T}.
Calcule cada produto:
v_x B_y = 2\times10^{6}\times 0{,}15 = 0{,}15\times2{,}0\times10^{6} = 3{,}0\times10^{5}.
v_y B_x = 3\times10^{6}\times 0{,}030 = 0{,}030\times3{,}0\times10^{6} = 9{,}0\times10^{4}.
Subtraindo:
v_x B_y - v_y B_x = 3{,}0\times10^{5} - 9{,}0\times10^{4} = 2{,}1\times10^{5}.
Logo
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = 2{,}1\times10^{5}\,\mathbf{k}\quad\big(\text{unidade: }\mathrm{m/s}\cdot\mathrm{T}\big).

Passo 5

Agora aplicamos \mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} com q = -1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}:
\mathbf{F} = -1{,}602\times10^{-19}\times\big(2{,}1\times10^{5}\big)\,\mathbf{k}.
Multiplicando os números:
-1{,}602\times2{,}1 = -3{,}3642
e as potências de 10: 10^{-19}\times10^{5}=10^{-14}. Assim
\mathbf{F} = -3{,}3642\times10^{-14}\,\mathrm{N}\,\mathbf{k}.

Passo 6

Arredondando de forma razoável (os dados têm, grosso modo, duas ou três cifras significativas), escrevemos o módulo e identificamos direção e sentido:
  • módulo (valor absoluto):
|\mathbf{F}| = 3{,}36\times10^{-14}\,\mathrm{N}.
  • direção: ao longo do eixo z (vetor \mathbf{k}).
  • sentido: como o resultado vetorial foi negativo na componente \mathbf{k}, a força aponta no sentido -\mathbf{k} (isto é, no sentido negativo do eixo z). Como o elétron é carga negativa, isso confirma que a força é oposta ao vetor \mathbf{v}\times\mathbf{B} positivo.

Resposta

Módulo: 3{,}36\times10^{-14}\,\mathrm{N}
Direção: ao longo do eixo z (vetor \mathbf{k})
Sentido: para -\mathbf{k} (ou seja, no sentido negativo do eixo z)

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