Uma onda plana uniforme de 2 GHz tem uma amplitude \mathrm{E}_{\mathrm{y}}=1,4 \mathrm{kV} / \mathrm{m} \mathrm{em}(0 ; 0 ; 0, \mathrm{t} =0 ) e se propaga na direção \mathbf{a}_{z} em um meio onde \varepsilon^{\prime \prime}=1,6 \times 10^{-11} \mathrm{~F} / \mathrm{m}, \varepsilon^{\prime}=3,0 \times 10^{-11} \mathrm{~F} / \mathrm{m} e \mu=2,5 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m}. Calcule: (a) E_{\gamma} em P (0 ; 0 ; 1,8 \mathrm{~cm}) em 0,2 \mathrm{~ns}; (b) H_{\mathrm{x}} em P em 0,2 \mathrm{~ns}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana de frequência f=2\;\mathrm{GHz}, com amplitude inicial
E_0=E_y(0,0,0)=1{,}4\;\mathrm{kV/m}=1400\;\mathrm{V/m},
propagando-se ao longo de \mathbf{a}_z em um meio caracterizado por
\varepsilon'=3{,}0\times10^{-11}\;\mathrm{F/m},\quad \varepsilon''=1{,}6\times10^{-11}\;\mathrm{F/m},\quad \mu=2{,}5\times10^{-6}\;\mathrm{H/m}.
Queremos (a) o campo elétrico E_y no ponto P com z=1{,}8\;\mathrm{cm} em t=0{,}2\;\mathrm{ns} e (b) o campo magnético H_x nesse mesmo ponto e instante. Para isso vamos:
  1. calcular \omega e a constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta,
  2. usar a expressão E_y(z,t)=E_0\,e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z),
  3. obter a impedância intrínseca \eta do meio e
  4. relacionar H a E por H=(\mathbf{a}_z\times E)/\eta.

Passo 2

Cálculo de \omega, \alpha e \beta.
\omega = 2\pi f = 2\pi\,(2\times10^9)=1{,}2566\times10^{10}\;\mathrm{rad/s}.
Definimos a permissividade complexa \varepsilon_c=\varepsilon'-j\,\varepsilon'' e escrevemos
\sqrt{\varepsilon_c}=P - j\,Q,\quad P=\sqrt{\frac{\sqrt{\varepsilon'^2+\varepsilon''^2}+\varepsilon'}2},\quad Q=\sqrt{\frac{\sqrt{\varepsilon'^2+\varepsilon''^2}-\varepsilon'}2}.
Numérico:
\sqrt{\varepsilon'^2+\varepsilon''^2}=\sqrt{(3{,}0)^2+(1{,}6)^2}\times10^{-11}=3{,}4\times10^{-11},
P=\sqrt{\frac{3{,}4+3{,}0}{2}\times10^{-11}}=5{,}656\times10^{-6},\quad Q=\sqrt{\frac{3{,}4-3{,}0}{2}\times10^{-11}}=1{,}414\times10^{-6}.
Como \sqrt\mu=\sqrt{2{,}5\times10^{-6}}=1{,}5811\times10^{-3}, obtemos
\alpha = \omega\,\sqrt\mu\,Q =1{,}2566\times10^{10}\cdot1{,}5811\times10^{-3}\cdot1{,}414\times10^{-6} \approx28{,}09\;\mathrm{Np/m},
\beta = \omega\,\sqrt\mu\,P =1{,}2566\times10^{10}\cdot1{,}5811\times10^{-3}\cdot5{,}656\times10^{-6} \approx112{,}4\;\mathrm{rad/m}.

Passo 3

Campo elétrico em P a z=0{,}018\;\mathrm m e t=0{,}2\;\mathrm{ns}=2\times10^{-10}\;\mathrm s:
E_y(z,t) =E_0\,e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr).
Calculemos
\alpha z=28{,}09\cdot0{,}018=0{,}5056,\quad e^{-\alpha z}=0{,}603,
\beta z=112{,}4\cdot0{,}018=2{,}0233,\quad \omega t=1{,}2566\times10^{10}\cdot2\times10^{-10}=2{,}5133\;\mathrm{rad},
\omega t-\beta z=2{,}5133-2{,}0233=0{,}4900\;\mathrm{rad},\quad \cos(0{,}4900)=0{,}882.
Logo
E_y(P,t)=1400\cdot0{,}603\cdot0{,}882\approx744{,}7\;\mathrm{V/m}.

Passo 4

Impedância intrínseca \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon_c}=\dfrac{\sqrt\mu}{P-jQ}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\eta =\frac{1{,}5811\times10^{-3}\,(5{,}656\times10^{-6}+j1{,}414\times10^{-6})} {(5{,}656)^2+(1{,}414)^2\;10^{-12}} \approx263{,}2 + j\,65{,}8\;\Omega.
Disto tiramos
|\eta|=\sqrt{263{,}2^2+65{,}8^2}\approx271{,}3\;\Omega,\quad \varphi=\arg(\eta)=\arctan\frac{65{,}8}{263{,}2}\approx0{,}246\;\mathrm{rad}.

Passo 5

Para onda em +z com \mathbf{E}=E_y\,\mathbf{a}_y, o campo magnético phasor satisfaz
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{a}_z\times\mathbf{E}}{\eta} =-\frac{E_0}{\eta}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}\,\mathbf{a}_x.
No domínio do tempo isto vira
H_x(z,t) =-\frac{E_0}{|\eta|}e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t-\beta z-\varphi\bigr).
Substituindo números:
\frac{E_0}{|\eta|}e^{-\alpha z}= \frac{1400}{271{,}3}\cdot0{,}603\approx3{,}113\;\mathrm{A/m},
\omega t-\beta z-\varphi=0{,}4900-0{,}246=0{,}244\;\mathrm{rad},\quad \cos(0{,}244)=0{,}9704,
H_x(P,t)=-3{,}113\cdot0{,}9704\approx-3{,}02\;\mathrm{A/m}.

Resposta

(a) E_y(P,t)=7{,}447\times10^2\;\mathrm{V/m} (aprox.\ 744{,}7\;\mathrm{V/m}).
(b) H_x(P,t)\approx-3{,}02\;\mathrm{A/m} (ou seja, 3{,}02\;\mathrm{A/m} no sentido -\mathbf{a}_x).

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