Exemplo 16.1.2 Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
em que as constantes numéricas estão em unidades do SI (
).
(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda situado no ponto
no instante
? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v, a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)
A velocidade transversal u é a taxa de variação, com o tempo, do deslocamento y de um elemento da corda. A expressão geral para o deslocamento é
Para um elemento em certa posição
, podemos calcular a taxa de variação de y derivando a Eq. 16.1.19 em relação a t, mantendo x constante. Uma derivada calculada enquanto uma (ou mais) das variáveis é tratada como constante é chamada de derivada parcial e representada pelo símbolo
em vez de d/dx.
Assim, em
, o elemento da corda situado em
está se movendo no sentido positivo de y com uma velocidade de
. (Atenção: Na hora de calcular a função cosseno, é melhor não arredondar o valor obtido para o argumento, pois isso poderia acarretar um erro significativo. Experimente, por exemplo, arredondar o argumento para dois algarismos significativos e verifique qual é o valor obtido para u.)
(b) Qual é a aceleração transversal
do mesmo elemento no instante
?
A aceleração transversal
é a taxa com a qual a velocidade transversal do elemento está variando.
Cálculos: De acordo com a Eq. 16.1.20, tratando novamente x como uma constante e permitindo que t varie, obtemos
De acordo com o resultado do item (a), o elemento da corda está se movendo no sentido positivo do eixo y no instante
(a velocidade é positiva).
resultado do item (b) mostra que, nesse instante, a velocidade está diminuindo, já que a aceleração é negativa.
(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda situado no ponto
(b) Qual é a aceleração transversal
Passo 1
O enunciado dá a forma da onda
e pede (a) a velocidade transversal
de um ponto fixo
em
e (b) a aceleração transversal
desse mesmo ponto e instante. Vamos usar derivadas parciais em relação a
, tratando
como constante.
Passo 2
Para qualquer
fixo, a velocidade transversal é
onde
,
e
.
Passo 3
Calculamos primeiro o argumento
Então
Passo 4
A aceleração transversal é a derivada de
em relação a
, com
constante:
Passo 5
Usando o mesmo
calculado antes, temos