Exemplo 16.1.2 Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
y(x, t)=(0,00327 m) sen(72,1 x-2,72 t)
em que as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327 m, 72,1 rad / m e 2,72 rad / s ).
(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda situado no ponto x=22,5 cm no instante t=18,9 s ? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v, a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)
A velocidade transversal u é a taxa de variação, com o tempo, do deslocamento y de um elemento da corda. A expressão geral para o deslocamento é
y(x, t)=ym sen(k x-omega t)
Para um elemento em certa posição x, podemos calcular a taxa de variação de y derivando a Eq. 16.1.19 em relação a t, mantendo x constante. Uma derivada calculada enquanto uma (ou mais) das variáveis é tratada como constante é chamada de derivada parcial e representada pelo símbolo partial / partial x em vez de d/dx.
u=partial ypartial t=-omega ym cos (k x-omega t)
u & =(-2,72)(0,00327) cos [(72,1)(0,225)-(2,72)(18,9)] & =0,00720 m / s=7,20 mm / s
Assim, em t=18,9 s, o elemento da corda situado em x=22,5 cm está se movendo no sentido positivo de y com uma velocidade de 7,20 mm / s. (Atenção: Na hora de calcular a função cosseno, é melhor não arredondar o valor obtido para o argumento, pois isso poderia acarretar um erro significativo. Experimente, por exemplo, arredondar o argumento para dois algarismos significativos e verifique qual é o valor obtido para u.)
(b) Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento no instante t=18,9 s ?
A aceleração transversal ay é a taxa com a qual a velocidade transversal do elemento está variando.
Cálculos: De acordo com a Eq. 16.1.20, tratando novamente x como uma constante e permitindo que t varie, obtemos
ay=partial upartial t=-omega^2 ym sen(k x-omega t)
ay & =-(2,72)^2(0,00327) sen[(72,1)(0,225)-(2,72)(18,9)] & =-0,0142 m / s^2=-14,2 mm / s^2
De acordo com o resultado do item (a), o elemento da corda está se movendo no sentido positivo do eixo y no instante t=18,9 s (a velocidade é positiva). O resultado do item (b) mostra que, nesse instante, a velocidade está diminuindo, já que a aceleração é negativa.

Passo 1

O enunciado dá a forma da onda
y(x,t) = l(0,00327:mr),senl(72,1,x ;-;2,72,tr)
e pede (a) a velocidade transversal u de um ponto fixo x=0,225:m em t=18,9:s e (b) a aceleração transversal ay desse mesmo ponto e instante. Vamos usar derivadas parciais em relação a t, tratando x como constante.

Passo 2

Para qualquer x fixo, a velocidade transversal é
u = partial ypartial t = -,omega,ym,cosl(kx - omega tr),
onde ym=0,00327:m, k=72,1:rad/m e omega=2,72:rad/s.

Passo 3

Calculamos primeiro o argumento
phi = kx - omega t = (72,1)(0,225);-;(2,72)(18,9) approx -35,1855:rad
Então
u = -,(2,72)(0,00327),cos(phi) approx -0,0088944;cos(-35,1855) approx 0,00720:m/s = 7,20:mm/s

Passo 4

A aceleração transversal é a derivada de u em relação a t, com x constante:
ay = partial upartial t = -,omega^2,ym,senl(kx - omega tr)

Passo 5

Usando o mesmo phi calculado antes, temos
ay = -,(2,72)^2(0,00327),sen(phi) approx -7,3984,(0,00327),sen(-35,1855) approx -0,0142:m/s^2 = -14,2:mm/s^2

Resposta

u = 7,20:mm/s
ay = -14,2:mm/s^2

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