Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 1 N / m. A massa é solta 2 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 4 m / s para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência ( em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea (em m / s ). Além disso, a massa sofre a ação de uma força externa igual a F(t)=sen(t)+3 cos (2 t) (em N , para baixo, com t em s ). Considere que deslocamentos abaixo da posição de equilíbrio estão no sentido positivo.
Encontre uma fórmula para a posição em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola com massa m=1 kg, constante elástica k=1 N/m, amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente c=2 (já que a força de resistência vale 2v) e força externa F(t)= sin t+3cos(2t) atuando para baixo. Tomamos x(t) medido para baixo a partir da posição de equilíbrio e temos as condições iniciais x(0)=2 e x’(0)=4.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton e Lei de Hooke obtemos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem:
x''(t)+2x'(t)+x(t)=sin t+3cos(2t)

Passo 3

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada x''+2x'+x=0. O polinômio característico é r^2+2r+1=(r+1)^2=0, com raiz dupla r=-1. Logo a solução homogênea é
xh(t)=(C1+C2t)e^-t

Passo 4

Para o termo sin t buscamos uma solução particular da forma xp1(t)=Asin t+Bcos t. Substituindo no LHS dá
LHS=-2Bsin t+2Acos t,
que deve igualar sin t. Assim -2B=1 e 2A=0, logo A=0, B=-tfrac12. Portanto
xp1(t)=-tfrac12cos t

Passo 5

Para o termo 3cos(2t) usamos xp2(t)=Csin(2t)+Dcos(2t). Substituindo no LHS e igualando a 3cos(2t) resulta no sistema
-3C-4D=0,4C-3D=3,
cuja solução é C=tfrac1225 e D=-tfrac925. Assim
xp2(t)=tfrac1225sin(2t)-tfrac925cos(2t)

Passo 6

Somando homogênea e particulares obtemos a solução geral
x(t)=(C1+C2t)e^-t-tfrac12cos t+tfrac1225sin(2t)-tfrac925cos(2t)

Passo 7

Aplicando as condições iniciais x(0)=2 e x’(0)=4:
De x(0)=2 vem C1-tfrac12-tfrac925=2 resultando em C1=tfrac14350.
De x’(0)=4, ao derivar a solução geral e avaliar em t=0, obtemos C2- C1+tfrac2425=4, o que dá C2=tfrac5910.

Resposta

A posição em função do tempo fica:
x(t)=l(tfrac14350+tfrac5910,tr)e^-t-tfrac12cos t+tfrac1225sin(2t)-tfrac925cos(2t)

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