Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a
. A massa é solta 2 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência ( em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea (em
). Além disso, a massa sofre a ação de uma força externa igual a
(em N , para baixo, com t em s ). Considere que deslocamentos abaixo da posição de equilíbrio estão no sentido positivo.
Encontre uma fórmula para a posição em função do tempo.
Encontre uma fórmula para a posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa–mola com massa m=1 kg, constante elástica k=1 N/m, amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente c=2 (já que a força de resistência vale 2v) e força externa F(t)=
atuando para baixo. Tomamos x(t) medido para baixo a partir da posição de equilíbrio e temos as condições iniciais x(0)=2 e x’(0)=4.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton e Lei de Hooke obtemos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem:
Passo 3
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
. O polinômio característico é
, com raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para o termo
buscamos uma solução particular da forma
. Substituindo no LHS dá
que deve igualar
Passo 5
Para o termo
usamos
. Substituindo no LHS e igualando a
resulta no sistema
cuja solução é
Passo 6
Somando homogênea e particulares obtemos a solução geral
Passo 7
Aplicando as condições iniciais x(0)=2 e x’(0)=4:
De x(0)=2 vem resultando em
.
De x’(0)=4, ao derivar a solução geral e avaliar em t=0, obtemos , o que dá
.
De x(0)=2 vem
De x’(0)=4, ao derivar a solução geral e avaliar em t=0, obtemos
Resposta
A posição em função do tempo fica: