e pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) e as derivadas parciais mistas de segunda ordem em (0,0).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f quando (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar (bem mastigada): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é o limite
Portanto a derivada parcial em y no ponto (0,0) é 0.
Passo 5
Agora a definição de derivadas mistas de segunda ordem que usaremos (explicando as duas formas):
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)(0,0). Isto significa: primeiro calcule a função x\mapsto\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e então derive em y no ponto y=0 mantendo x=0. Na prática, é conveniente obter a função y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) e derivá-la em 0.
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)(0,0). Aqui vamos obter x\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,0) e derivá-la em 0.
Vou calcular as duas quantidades pelo seu limite definicional apropriado (isto evita assumir existência de continuidade de derivadas).
Passo 6
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0) (primeiro \partial/\partial x, depois \partial/\partial y). Precisamos da função
Tomando h\to0 (com y fixo), o numerador h^{2}y\to0 e o denominador tende a y^{2} (se y\neq0), então o limite é 0. Para y=0 já sabemos por Passo 3 que \partial f/\partial x(0,0)=0. Portanto, para todo y pequeno
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=0.
Assim a função y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) é identicamente zero perto de 0, e sua derivada em y=0 é
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0) (primeiro \partial/\partial y, depois \partial/\partial x). Precisamos da função
Já sabemos que \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 (Passo 4). Assim a função x\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,0) vale x para x\neq0 e 0 em x=0; isso é uma função que, perto de 0, coincide com x. Agora derivamos em 0:
Observação final e interpretação: as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) são ambas 0. As derivadas parciais mistas existem, mas são diferentes: \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0 e \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1. Isso mostra que, para essa função, as derivadas mistas não são iguais no ponto (0,0) (o que exige condições extras de continuidade das derivadas para garantir igualdade).