Exemplo 166. Seja
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{3} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e as derivadas parciais mistas de segunda ordem em (0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) e as derivadas parciais mistas de segunda ordem em (0,0).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f quando (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (bem mastigada): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
ou seja, nós variamos apenas x (colocando y=0) e vemos a taxa de variação. Aqui h é um incremento em x. Analogamente, a derivada parcial em y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k},
onde k é um incremento em y. Vou aplicar essas definições diretamente e mostrar cada passo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0). Para h\neq0 temos, com y=0,
f(h,0)=\frac{h^{3}\cdot 0}{h^{2}+0^{2}}=0.
Então a razão incremental é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
Tomando o limite,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}0=0.
Portanto a derivada parcial em x no ponto (0,0) é 0.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0). Para k\neq0 com x=0,
f(0,k)=\frac{0^{3}\cdot k}{0^{2}+k^{2}}=0.
A razão incremental é
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}0=0.
Portanto a derivada parcial em y no ponto (0,0) é 0.

Passo 5

Agora a definição de derivadas mistas de segunda ordem que usaremos (explicando as duas formas):
  • \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)(0,0). Isto significa: primeiro calcule a função x\mapsto\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e então derive em y no ponto y=0 mantendo x=0. Na prática, é conveniente obter a função y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) e derivá-la em 0.
  • \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)(0,0). Aqui vamos obter x\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,0) e derivá-la em 0.
    Vou calcular as duas quantidades pelo seu limite definicional apropriado (isto evita assumir existência de continuidade de derivadas).

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0) (primeiro \partial/\partial x, depois \partial/\partial y). Precisamos da função
y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,y).
Para y fixo (pode ser 0 ou não), pela definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}.
Repare que para 0\neq y temos f(0,y)=0 (usando a fórmula para (x,y)\neq(0,0) com x=0). Então, para y fixo,
\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\frac{1}{h}\cdot\frac{h^{3}y}{h^{2}+y^{2}}=\frac{h^{2}y}{h^{2}+y^{2}}.
Tomando h\to0 (com y fixo), o numerador h^{2}y\to0 e o denominador tende a y^{2} (se y\neq0), então o limite é 0. Para y=0 já sabemos por Passo 3 que \partial f/\partial x(0,0)=0. Portanto, para todo y pequeno
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=0.
Assim a função y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) é identicamente zero perto de 0, e sua derivada em y=0 é
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=\frac{d}{dy}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\Big)\Big|_{y=0}=0.

Passo 7

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0) (primeiro \partial/\partial y, depois \partial/\partial x). Precisamos da função
x\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,0).
Para x fixo, pela definição,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k}.
Note que para x\neq0 temos f(x,0)=0. Então para x\neq0
\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k}=\frac{1}{k}\cdot\frac{x^{3}k}{x^{2}+k^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}+k^{2}}.
Agora tomamos k\to0 com x fixo e não nulo; esse limite é
\lim_{k\to0}\frac{x^{3}}{x^{2}+k^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}}=x.
Portanto, para x\neq0 próximo de 0,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)=x.
Já sabemos que \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 (Passo 4). Assim a função x\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,0) vale x para x\neq0 e 0 em x=0; isso é uma função que, perto de 0, coincide com x. Agora derivamos em 0:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}=1.
Portanto \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1.

Passo 8

Observação final e interpretação: as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) são ambas 0. As derivadas parciais mistas existem, mas são diferentes: \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0 e \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1. Isso mostra que, para essa função, as derivadas mistas não são iguais no ponto (0,0) (o que exige condições extras de continuidade das derivadas para garantir igualdade).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1

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