Exemplo 93. Calcule: \int_{1}^{2} \int_{-1}^{x^{2}}(x+x y) d y d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{2} \int_{-1}^{x^{2}} (x + x y)\, dy\, dx.
Informações e objetivos claros:
A variável de integração interna é y, com limite inferior y=-1 e limite superior y=x^{2}.
A variável de integração externa é x, com limite inferior x=1 e limite superior x=2.
Precisamos primeiro calcular a integral em y (a integral interna) e depois integrar o resultado em x (integral externa).
O integrando é a função (x + x y), que depende de x e y.
Passo 2
Observação sobre o integrando e como simplificá-lo antes de integrar em y.
A expressão (x + x y) pode ser fatorada em x(1+y), porque x + x y = x(1+y). Isso é útil porque, ao integrar em y, x é uma constante (estamos integrando com respeito a y), então podemos puxar x para fora da integral em y.
Portanto, a integral interna fica
\int_{-1}^{x^{2}} (x + x y)\, dy = \int_{-1}^{x^{2}} x(1+y)\, dy.
Passo 3
Aplicando a regra de constantes na integração: como x é constante quando integramos em y, podemos escrever
\int_{-1}^{x^{2}} x(1+y)\, dy = x \int_{-1}^{x^{2}} (1+y)\, dy.
Agora vamos integrar a função (1+y) em relação a y. Usamos a regra básica da integral de polinômios (regra da potência): \int y^n dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e \int 1\, dy = y. Assim,
\int (1+y)\, dy = \int 1\, dy + \int y\, dy = y + \frac{y^{2}}{2} + C.
Passo 4
Avaliação da integral interna usando o Teorema Fundamental do Cálculo: substituir os limites y=-1 e y=x^{2} na primitiva y + \dfrac{y^{2}}{2} e multiplicar por x.
Simplificando \dfrac{117}{12} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{117}{12} = \frac{39}{4}.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número racional \dfrac{39}{4}, que em decimal é 9{,}75. As contas foram feitas aplicando propriedades básicas das integrais (constante fora da integral, linearidade, regra da potência) e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar primitivas nos limites.