Exemplo 93. Calcule: \int_{1}^{2} \int_{-1}^{x^{2}}(x+x y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{2} \int_{-1}^{x^{2}} (x + x y)\, dy\, dx.
Informações e objetivos claros:
  • A variável de integração interna é y, com limite inferior y=-1 e limite superior y=x^{2}.
  • A variável de integração externa é x, com limite inferior x=1 e limite superior x=2.
  • Precisamos primeiro calcular a integral em y (a integral interna) e depois integrar o resultado em x (integral externa).
  • O integrando é a função (x + x y), que depende de x e y.

Passo 2

Observação sobre o integrando e como simplificá-lo antes de integrar em y.
A expressão (x + x y) pode ser fatorada em x(1+y), porque x + x y = x(1+y). Isso é útil porque, ao integrar em y, x é uma constante (estamos integrando com respeito a y), então podemos puxar x para fora da integral em y.
Portanto, a integral interna fica
\int_{-1}^{x^{2}} (x + x y)\, dy = \int_{-1}^{x^{2}} x(1+y)\, dy.

Passo 3

Aplicando a regra de constantes na integração: como x é constante quando integramos em y, podemos escrever
\int_{-1}^{x^{2}} x(1+y)\, dy = x \int_{-1}^{x^{2}} (1+y)\, dy.
Agora vamos integrar a função (1+y) em relação a y. Usamos a regra básica da integral de polinômios (regra da potência): \int y^n dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e \int 1\, dy = y. Assim,
\int (1+y)\, dy = \int 1\, dy + \int y\, dy = y + \frac{y^{2}}{2} + C.

Passo 4

Avaliação da integral interna usando o Teorema Fundamental do Cálculo: substituir os limites y=-1 e y=x^{2} na primitiva y + \dfrac{y^{2}}{2} e multiplicar por x.
Primeiro calcule a primitiva em y=x^{2}:
\left. y + \frac{y^{2}}{2} \right|_{y=x^{2}} = x^{2} + \frac{(x^{2})^{2}}{2} = x^{2} + \frac{x^{4}}{2}.
Depois em y=-1:
\left. y + \frac{y^{2}}{2} \right|_{y=-1} = -1 + \frac{(-1)^{2}}{2} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.
A diferença (valor da integral em y) é
\left(x^{2} + \frac{x^{4}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2}.
Multiplicando por x (lembrando que tínhamos fatorado x):
x\left(x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2}\right) = x^{3} + \frac{x^{5}}{2} + \frac{x}{2}.
Portanto a integral interna já calculada transforma a dupla integral numa integral simples em x:
\int_{1}^{2} \int_{-1}^{x^{2}} (x + x y)\, dy\, dx = \int_{1}^{2} \left( x^{3} + \frac{x^{5}}{2} + \frac{x}{2} \right) dx.

Passo 5

Agora vamos integrar termo a termo em x. Usamos novamente a regra da potência para integrais: \int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Integrando cada termo:
  • \displaystyle \int x^{3} dx = \frac{x^{4}}{4}.
  • \displaystyle \int \frac{x^{5}}{2} dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{6}}{6} = \frac{x^{6}}{12}.
  • \displaystyle \int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Somando as primitivas, uma antiderivada da integranda é
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{6}}{12} + \frac{x^{2}}{4}.

Passo 6

Agora avaliamos F(x) nos limites x=1 e x=2 e faremos F(2) - F(1).
Calcule F(2):
\frac{2^{4}}{4} + \frac{2^{6}}{12} + \frac{2^{2}}{4} = \frac{16}{4} + \frac{64}{12} + \frac{4}{4} = 4 + \frac{64}{12} + 1.
Simplificando \dfrac{64}{12}: dividir numerador e denominador por 4 \dfrac{16}{3}. Então
F(2) = 4 + \frac{16}{3} + 1 = 5 + \frac{16}{3} = \frac{15}{3} + \frac{16}{3} = \frac{31}{3}.
Calcule F(1):
\frac{1^{4}}{4} + \frac{1^{6}}{12} + \frac{1^{2}}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4}.
Somando \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}. Então
F(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}.

Passo 7

Subtraindo para obter a integral definida:
F(2) - F(1) = \frac{31}{3} - \frac{7}{12}.
Para subtrair, colocamos no mesmo denominador 12:
\frac{31}{3} = \frac{31\cdot4}{3\cdot4} = \frac{124}{12}.
Então
\frac{124}{12} - \frac{7}{12} = \frac{117}{12}.
Simplificando \dfrac{117}{12} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{117}{12} = \frac{39}{4}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número racional \dfrac{39}{4}, que em decimal é 9{,}75. As contas foram feitas aplicando propriedades básicas das integrais (constante fora da integral, linearidade, regra da potência) e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar primitivas nos limites.

Resposta

\dfrac{39}{4}

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