A integral é iterada: primeiro integra-se em x entre x=-y e x=y, depois integra-se em y entre y=0 e y=2.
A função integranda é x^{2}y+y, que depende de x e de y.
Quando fazemos a integral interna em x, o y deve ser tratado como constante (pois a variável de integração é x).
A tarefa é executar as integrais e obter o valor numérico final.
Passo 2
Vamos simplificar a integranda antes de integrar em x. Repare que y aparece em todos os termos, então podemos fatorar y:
x^{2}y+y = y\left(x^{2}+1\right).
Explicação didática: fatorar é usar a propriedade distributiva a b + a c = a(b+c). Aqui a=y, b=x^{2}, c=1. Isso deixa a expressão mais fácil de integrar em x, porque agora temos y multiplicando uma função só de x.
Passo 3
Nota sobre integração com parâmetro: ao integrar em x com y fixo, podemos tirar y para fora da integral por ser constante em relação a x. Assim
Outra observação útil (economiza trabalho): x^{2}+1 é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). A integral de uma função par em limites simétricos [-a,a] vale o dobro da integral de 0 a a:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx \quad\text{se \(f\) é par}.
Aqui podemos aplicar com a=y porque os limites são -y a y. Então
Calcule a integral de 0 a y de \left(x^{2}+1\right). Usamos a regra básica de potências: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e a primitiva de 1 é x. Portanto,
\int_{0}^{y}\left(x^{2}+1\right) dx = \left[\frac{x^{3}}{3} + x\right]_{0}^{y} = \frac{y^{3}}{3} + y.