Exemplo 92. Calcule: \int_{0}^{2}\left[\int_{-y}^{y}\left[x^{2} y+y\right] d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\left[\int_{-y}^{y}\left[x^{2} y+y\right] dx\right] dy.
Informações dadas:
  • A integral é iterada: primeiro integra-se em x entre x=-y e x=y, depois integra-se em y entre y=0 e y=2.
  • A função integranda é x^{2}y+y, que depende de x e de y.
  • Quando fazemos a integral interna em x, o y deve ser tratado como constante (pois a variável de integração é x).
    A tarefa é executar as integrais e obter o valor numérico final.

Passo 2

Vamos simplificar a integranda antes de integrar em x. Repare que y aparece em todos os termos, então podemos fatorar y:
x^{2}y+y = y\left(x^{2}+1\right).
Explicação didática: fatorar é usar a propriedade distributiva a b + a c = a(b+c). Aqui a=y, b=x^{2}, c=1. Isso deixa a expressão mais fácil de integrar em x, porque agora temos y multiplicando uma função só de x.

Passo 3

Nota sobre integração com parâmetro: ao integrar em x com y fixo, podemos tirar y para fora da integral por ser constante em relação a x. Assim
\int_{-y}^{y}\left[x^{2}y+y\right] dx = \int_{-y}^{y} y\left(x^{2}+1\right) dx = y\int_{-y}^{y}\left(x^{2}+1\right) dx.
Outra observação útil (economiza trabalho): x^{2}+1 é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). A integral de uma função par em limites simétricos [-a,a] vale o dobro da integral de 0 a a:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx \quad\text{se \(f\) é par}.é
Aqui podemos aplicar com a=y porque os limites são -y a y. Então
y\int_{-y}^{y}\left(x^{2}+1\right) dx = y\cdot 2\int_{0}^{y}\left(x^{2}+1\right) dx.

Passo 4

Calcule a integral de 0 a y de \left(x^{2}+1\right). Usamos a regra básica de potências: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e a primitiva de 1 é x. Portanto,
\int_{0}^{y}\left(x^{2}+1\right) dx = \left[\frac{x^{3}}{3} + x\right]_{0}^{y} = \frac{y^{3}}{3} + y.
Multiplicando pelo fator externo que tínhamos:
y\cdot 2\left(\frac{y^{3}}{3} + y\right) = 2y\left(\frac{y^{3}}{3} + y\right).

Passo 5

Expandimos para simplificar antes de integrar em y:
2y\left(\frac{y^{3}}{3} + y\right) = 2y\cdot\frac{y^{3}}{3} + 2y\cdot y = \frac{2y^{4}}{3} + 2y^{2}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\int_{0}^{2}\left[\int_{-y}^{y}\left(x^{2}y+y\right) dx\right] dy = \int_{0}^{2}\left(\frac{2y^{4}}{3} + 2y^{2}\right) dy.

Passo 6

Integramos termo a termo. Usamos a regra da primitiva para potências novamente:
  • A primitiva de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}.
  • A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.
    Assim,
\int_{0}^{2}\left(\frac{2y^{4}}{3} + 2y^{2}\right) dy = \left[\frac{2}{3}\cdot\frac{y^{5}}{5} + 2\cdot\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Simplificando os fatores:
\frac{2}{3}\cdot\frac{y^{5}}{5} = \frac{2y^{5}}{15},\qquad 2\cdot\frac{y^{3}}{3} = \frac{2y^{3}}{3}.

Passo 7

Avalie em y=2 e subtraia o valor em y=0 (que é zero):
\left.\frac{2y^{5}}{15} + \frac{2y^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{2\cdot 2^{5}}{15} + \frac{2\cdot 2^{3}}{3} - 0.
Calcule as potências: 2^{5}=32 e 2^{3}=8. Substituindo:
\frac{2\cdot 32}{15} + \frac{2\cdot 8}{3} = \frac{64}{15} + \frac{16}{3}.
Para somar, colocamos sobre denominador comum 15:
\frac{64}{15} + \frac{16}{3} = \frac{64}{15} + \frac{80}{15} = \frac{144}{15}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{144}{15} = \frac{48}{5}.

Resposta

\dfrac{48}{5}

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