Exemplo 17.2.1

A amplitude máxima de pressão \Delta p_{m} que o ouvido humano pode suportar, associada a sons muito altos, é da ordem de 28 Pa (muito menor, portanto, que a pressão normal do ar, aproximadamente 10^{5} \mathrm{~Pa} ). Qual é a amplitude do deslocamento sm correspondente, supondo que a massa específica do ar é \rho=1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, a frequência do som é 1.000 Hz e a velocidade do som é 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá a amplitude máxima de pressão \Delta p_{m}=28\:\mathrm{Pa} de uma onda sonora de frequência f=1000\:\mathrm{Hz} que se propaga no ar de massa específica \rho=1,21\:\mathrm{kg/m^3} com velocidade c=343\:\mathrm{m/s}.
Queremos a amplitude do deslocamento das partículas do ar, que chamamos de s_{m}.
Para ondas sonoras planas e harmônicas, vale a relação
\Delta p_{m}=\rho\,c\,v_{m},
onde v_{m} é a amplitude da velocidade das partículas. Além disso, como o deslocamento é harmônico,
v_{m}=\omega\,s_{m},
com \omega=2\pi f.

Passo 2

Substituindo v_{m}=\omega\,s_{m} em \Delta p_{m}=\rho\,c\,v_{m}, obtemos
\Delta p_{m}=\rho\,c\,\omega\,s_{m}.

Passo 3

Isolando s_{m}, fica
s_{m}=\frac{\Delta p_{m}}{\rho\,c\,\omega}.

Passo 4

Calculemos os valores numéricos:
\omega=2\pi f=2\pi\times1000\:\mathrm{s^{-1}}\approx6283\:\mathrm{s^{-1}}.
O produto \rho\,c\,\omega vale aproximadamente
1,21\times343\times6283\approx2{,}61\times10^{6}\:\mathrm{(kg/(m^2s^2))}.
Logo
s_{m}=\frac{28}{2{,}61\times10^{6}}\:\mathrm{m}\approx1{,}1\times10^{-5}\:\mathrm{m}.

Resposta

A amplitude do deslocamento é aproximadamente 1{,}1\times10^{-5}\:\mathrm{m}.

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