Exemplo 17.2 Um litro de um gás ideal está na pressão de 2 atm e na temperatura de 300 K . O gás expande-se contra uma pressão constante até o seu volume atingir 2 \ell, depois do que é resfriado a volume constante até a sua pressão reduzir-se para 1 atm . Depois é novamente resfriado isobaricamente até o seu volume retornar a 1 \ell. É entáo aquecido isocoricamente retornando ao seu estado original. Calcular o trabalho total efetuado pelogás, neste ciclo, e o calor total trocado por ele.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de um gás ideal em cinco estados, partindo de P_{1}=2 atm, V_{1}=1,L, T_{1}=300,K. Há quatro processos: expansão isobárica a 2 atm até V_{2}=2,L; resfriamento isocórico até P_{3}=1 atm; resfriamento isobárico a 1 atm até V_{4}=1,L; aquecimento isocórico retornando a (P_{1},V_{1},T_{1}).
Conteúdo: gás ideal, lei dos gases, trabalho em processos isobárico e isocórico, primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Calcular o número de mols n a partir do estado inicial usando a lei dos gases ideais:
n \;=\;\frac{P_{1}\,V_{1}}{R\,T_{1}}
Em unidades P em atm, V em L, R=0,08206, L\cdot atm\cdot mol^{-1} K^{-1}:
n = \frac{2\cdot1}{0{,}08206\cdot300}\approx0{,}0813\;\text{mol}.

Passo 3

Determinar as temperaturas nos demais estados:
— Processo 1\to 2 (isobárico a 2 atm, V_{1}\to V_{2}=2 L):
T_{2}=\frac{P_{2}V_{2}}{nR} \quad\Longrightarrow\quad T_{2}=T_{1}\,\frac{V_{2}}{V_{1}}=300\cdot\frac{2}{1}=600\;\text{K}.
— Processo 2\to 3 (isocórico, V=2 L, P_{2}\to P_{3}=1 atm):
T_{3}=T_{2}\,\frac{P_{3}}{P_{2}}=600\cdot\frac{1}{2}=300\;\text{K}.
— Processo 3\to 4 (isobárico a 1 atm, V_{3}=2\to V_{4}=1 L):
T_{4}=T_{3}\,\frac{V_{4}}{V_{3}}=300\cdot\frac{1}{2}=150\;\text{K}.

Passo 4

Calcular o trabalho em cada ramo usando W=\int P\,dV:
1\to2 (isobárico a 2 atm):
W_{1\to2}=P_{1}\,\bigl(V_{2}-V_{1}\bigr) =2\;\text{atm}\times(2-1)\;\text{L}=2\;\text{L\cdotatm}.
2\to3 (isocórico):
W_{2\to3}=0.
3\to4 (isobárico a 1 atm):
W_{3\to4}=P_{3}\,\bigl(V_{4}-V_{3}\bigr) =1\;\text{atm}\times(1-2)\;\text{L}=-1\;\text{L\cdotatm}.
4\to1 (isocórico):
W_{4\to1}=0.

Passo 5

Somando todos os trabalhos (em L\cdot atm) e convertendo para joule ( 1, L\cdot atm = 101{,}325,J):
W_{\text{total}} =2 + 0 - 1 + 0 =1\;\text{L\cdot atm} \quad\Longrightarrow\quad W_{\text{total}}=1\times101{,}325=101{,}3\;\text{J}.

Passo 6

Pela primeira lei num ciclo fechado, \Delta U_{\text{total}}=0, logo
Q_{\text{total}} =\Delta U_{\text{total}}+W_{\text{total}} =0+W_{\text{total}} =101{,}3\;\text{J}.

Resposta

O trabalho total efetuado pelo gás é W_{\text{total}}=1\;L\cdot atm =101{,}3,J.
O calor total trocado pelo gás é Q_{\text{total}}=101{,}3,J.

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