( \mathbf{2 , 0} pontos) Na forma complexa, a equação do oscilador amortecido forçado é dada por
\ddot{z}+\gamma \dot{z}+\omega_{0}^{2} z=\frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t} .
Mostre que z(t)=A e^{i \omega t} é solução da equação com A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i \omega \gamma\right)}.

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador amortecido forçado na forma complexa
\ddot{z} + \gamma \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t}.
Queremos encontrar uma solução particular de regime estacionário na forma
z(t) = A e^{i \omega t}.
A estratégia é calcular \dot z e \ddot z, substituir na equação e determinar A.

Passo 2

Para z(t)=A e^{i\omega t} temos
\dot{z}(t)=i\omega A e^{i\omega t},
\ddot{z}(t)=(i\omega)^{2}A e^{i\omega t}=-\omega^{2}A e^{i\omega t}.
Essas expressões vêm da derivação direta de e^{i\omega t}.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(-\omega^{2}A) e^{i\omega t}+\gamma\,(i\omega A)e^{i\omega t}+\omega_{0}^{2}A e^{i\omega t} =\frac{F_{0}}{m}e^{i\omega t}.
Cancelando e^{i\omega t} de ambos os lados,
-\omega^{2}A + i\omega\gamma A + \omega_{0}^{2}A = \frac{F_{0}}{m},
A\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\omega\gamma\bigr)=\frac{F_{0}}{m}.
Isolando A obtém-se
A = \frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\omega\gamma}.

Resposta

A = \frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i \omega \gamma\bigr)}.

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