( \mathbf{2}, \mathbf{0} pontos) Verifique se a função
x(t)=t e^{-\frac{\gamma}{2} t}
é solução da equação \ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{\circ}^{2} x=0 para \omega_{\circ}=\gamma / 2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
x(t)=t\,e^{-\frac{\gamma}{2}t}
satisfaz a equação diferencial
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{\circ}^{2}x=0
quando \omega_{\circ}=\gamma/2. Para isso, vamos calcular \dot{x}(t) e \ddot{x}(t) e depois substituir na equação.

Passo 2

Definimos a=\frac{\gamma}{2}, de modo que x(t)=t\,e^{-a t}. Aplicando a regra do produto,
\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,e^{-a t} + t\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-a t}\bigr) = e^{-a t} + t\bigl(-a e^{-a t}\bigr) = e^{-a t}(1 - a t).

Passo 3

Derivando \dot{x}(t)=e^{-a t}(1 - a t) outra vez, novamente por produto,
\ddot{x}(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{-a t}\bigr)\,(1 - a t) + e^{-a t}\,\frac{d}{dt}\bigl(1 - a t\bigr) = \bigl(-a e^{-a t}\bigr)(1 - a t) + e^{-a t}(-a) = e^{-a t}\bigl(a^2 t - 2a\bigr).

Passo 4

Substituímos em
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{\circ}^2 x e fatoramos e^{-a t}:
\ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega_{\circ}^2 x = e^{-a t}(a^2 t - 2a) + \gamma\,e^{-a t}(1 - a t) + \omega_{\circ}^2\,t\,e^{-a t} = e^{-a t}\Bigl[t\bigl(a^2 - \gamma a + \omega_{\circ}^2\bigr) + (-2a + \gamma)\Bigr].

Passo 5

Para \omega_{\circ}=\gamma/2 temos a=\gamma/2 e \omega_{\circ}^2=a^2. Então
a^2 - \gamma a + \omega_{\circ}^2 = a^2 -2a^2 + a^2 = 0.
-2a + \gamma = -2a + 2a = 0.
Logo o colchete é zero e toda a expressão se anula, isto é,
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{\circ}^2 x=0.

Resposta

A função x(t)=t\,e^{-\frac{\gamma}{2}t} satisfaz a equação diferencial
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{\circ}^2 x=0 quando \omega_{\circ}=\gamma/2.

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