Exemplo 18. Calcule o comprimento da curva
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
para
e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva paramétrica:
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva paramétrica:
Passo 2
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 3
Substituímos na fórmula do comprimento:
Para simplificar colocamos tudo num único radicando:
Logo
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
.
No integrando temos e
, então
No integrando temos
Portanto
Passo 5
Fazemos agora a segunda substituição
O integrando fica
Logo
Passo 6
Integramos em
:
portanto