Exemplo 17. Calcule o comprimento da hélice r(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), t) para t \in[0, T].

Passo 1

O enunciado nos dá a hélice
r(t) = \bigl(2\cos(t),\,2\sin(t),\,t\bigr), \quad t\in[0,T].
Queremos o comprimento de curva dessa função vetorial. O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r(t):
r'(t) = \bigl(-2\sin(t),\,2\cos(t),\,1\bigr).
Em seguida, encontramos a norma de r'(t):
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-2\sin(t))^2 + (2\cos(t))^2 + 1^2} = \sqrt{4\sin^2(t) + 4\cos^2(t) + 1} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 3

Como \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert é constante igual a \sqrt{5}, o comprimento de curva torna-se
L = \int_{0}^{T} \sqrt{5}\,dt = \sqrt{5}\,\bigl[T - 0\bigr] = \sqrt{5}\,T.

Resposta

O comprimento da hélice no intervalo t\in[0,T] é
L = \sqrt{5}\,T.

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