Exemplo 19. Considere a expressão:
. Completando quadrados, obtenha a expressão da circunferência que ela representa. A seguir, faça a translação
e uma mudança de coordenadas polares para obter a reta que esta circunferência (do plano
) determina no plano r
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede, primeiro, completar quadrados para identificar a circunferência (centro e raio); depois fazer a tradução de coordenadas
para levar o centro ao novo origem; por fim usar coordenadas polares
e mostrar que a imagem é uma reta no plano
.
Passo 2
Para completar quadrados agrupamos
e
:
Substituindo em
vem
Logo é uma circunferência de centro
e raio
.
Passo 3
Fazendo a tradução
temos
então a equação traduzida é
que é uma circunferência de raio
com centro na nova origem
.
Passo 4
Em coordenadas polares definimos
Substituindo em
dá
Portanto, no plano
a curva é a reta horizontal
.
Resposta
A circunferência é
No plano
ela corresponde à reta