Exemplo 19. Considere a expressão: x^{2}+2 x+y^{2}-2 y=2. Completando quadrados, obtenha a expressão da circunferência que ela representa. A seguir, faça a translação (x, y)=(u-1, v+1) e uma mudança de coordenadas polares para obter a reta que esta circunferência (do plano x y ) determina no plano r \theta.

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2}+2x+y^{2}-2y=2
e pede, primeiro, completar quadrados para identificar a circunferência (centro e raio); depois fazer a tradução de coordenadas (x,y)=(u-1,v+1) para levar o centro ao novo origem; por fim usar coordenadas polares u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta e mostrar que a imagem é uma reta no plano (r,\theta).

Passo 2

Para completar quadrados agrupamos x e y:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1, \qquad y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.
Substituindo em x^{2}+2x+y^{2}-2y=2 vem
(x+1)^{2}-1 + (y-1)^{2}-1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2} + (y-1)^{2} = 4.
Logo é uma circunferência de centro (-1,1) e raio 2.

Passo 3

Fazendo a tradução (x,y)=(u-1,v+1) temos
x+1 = u-1+1 = u, \qquad y-1 = v+1-1 = v,
então a equação traduzida é
u^{2} + v^{2} = 4,
que é uma circunferência de raio 2 com centro na nova origem (u,v)=(0,0).

Passo 4

Em coordenadas polares definimos
u = r\cos\theta, \qquad v = r\sin\theta.
Substituindo em u^{2}+v^{2}=4
r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)=4 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad r=2.
Portanto, no plano (r,\theta) a curva é a reta horizontal r=2.

Resposta

A circunferência é
(x+1)^{2} + (y-1)^{2} = 4.
No plano (r,\theta) ela corresponde à reta
r = 2.

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