Exemplo 18. Calcule o comprimento da curva r(t)=\left(t, t^{2 / 3}\right) para t \in[1,4].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t,\;t^{2/3}\bigr)
para t\in[1,4] e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva paramétrica:
s = \int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t\bigr) = 1, \qquad y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2/3}\bigr) = \frac{2}{3}\,t^{-1/3}.

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento:
s = \int_{1}^{4}\sqrt{1^{2}+\Bigl(\tfrac{2}{3}\,t^{-1/3}\Bigr)^{2}}\;dt = \int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{4}{9}\,t^{-2/3}}\;dt.
Para simplificar colocamos tudo num único radicando:
1+\frac{4}{9}\,t^{-2/3} =\frac{9\,t^{2/3}+4}{9\,t^{2/3}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+\frac{4}{9}t^{-2/3}} =\frac{\sqrt{9\,t^{2/3}+4}}{3\,t^{1/3}}.
Logo
s = \int_{1}^{4}\frac{\sqrt{9\,t^{2/3}+4}}{3\,t^{1/3}}\;dt.

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos a substituição
u = t^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad t = u^{3}, \quad dt = 3\,u^{2}\,du.
Quando t=1, u=1; quando t=4, u=4^{1/3}.
No integrando temos t^{2/3}=u^{2} e t^{1/3}=u, então
\frac{\sqrt{9\,t^{2/3}+4}}{3\,t^{1/3}}\,dt = \frac{\sqrt{9\,u^{2}+4}}{3\,u}\,(3\,u^{2}\,du) = u\,\sqrt{9\,u^{2}+4}\;du.
Portanto
s = \int_{u=1}^{u=4^{1/3}}u\,\sqrt{9\,u^{2}+4}\;du.

Passo 5

Fazemos agora a segunda substituição
w = 9\,u^{2}+4 \quad\Longrightarrow\quad dw = 18\,u\,du \quad\Longrightarrow\quad u\,du = \frac{dw}{18}.
O integrando fica
u\,\sqrt{9\,u^{2}+4}\;du = \sqrt{w}\;\frac{dw}{18} = \frac{1}{18}\,w^{1/2}\,dw.
Logo
s = \frac{1}{18}\int_{w(1)}^{w(4^{1/3})}w^{1/2}\,dw \quad\text{com}\quad w(1)=9\cdot1^{2}+4=13, \; w(4^{1/3})=9\cdot4^{2/3}+4.

Passo 6

Integramos em w:
\int w^{1/2}\,dw = \frac{2}{3}\,w^{3/2},
portanto
s = \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\,\Bigl[w^{3/2}\Bigr]_{13}^{\,9\cdot4^{2/3}+4} = \frac{1}{27}\Bigl[\bigl(9\,4^{2/3}+4\bigr)^{3/2} - 13^{3/2}\Bigr].

Resposta

s = \frac{1}{27}\Bigl[\bigl(9\,4^{2/3}+4\bigr)^{3/2} \;-\;13^{3/2}\Bigr].

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