Exemplo 5.16. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}+2\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, que usamos quando dentro da integral aparece uma função composta e a sua “quase” derivada.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{4}+2,
pois daí
du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
temos
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u = x^{4}+2, a primitiva fica
\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C

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