(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule ln (2) utilizando os seguintes valores
ll x0=1 & f(x0)=0 x1=4 & f(x1)=1,386294 x2=6 & f(x2)=1,791759
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
(a) Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos do gráfico de f(x)=ln(x):
x0=1,;f(x0)=0; x1=4,;f(x1)=1,386294; x2=6,;f(x2)=1,791759
e pede para construir o polinômio interpolador de Newton de grau 2 e usá-lo para aproximar ln(2). Vamos precisar das diferenças divididas de ordem 1 e 2.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1] =f(x1)-f(x0)x1-x0 =1,386294-04-1 =0,462098
f[x1,x2] =f(x2)-f(x1)x2-x1 =1,791759-1,3862946-4 =0,202733

Passo 3

Agora a diferença dividida de segunda ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =0,202733-0,4620986-1 =-0,051873

Passo 4

O polinômio de Newton de grau 2 é
P2(x) =f(x0)+f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1),
logo, substituindo valores,
P2(x) =0+0,462098,(x-1) -0,051873,(x-1)(x-4)

Passo 5

Para aproximar ln(2), avalia-mos P2 em x=2:
P2(2) =0,462098,(2-1)-0,051873,(2-1)(2-4) =0,462098-0,051873cdot(-2) =0,462098+0,103746 =0,565844

Resposta

ln(2)approx0,565844 usando o polinômio de Newton de grau 2.

Exercícios relacionados