(Exemplo 18.1, Ref. [1]) Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2 usando uma interpolação linear. Primeiramente, faça o cálculo interpolando entre ln (1)=0 e ln (6)=1,791759. Então, repita o procedimento, mas use o intervalo menor de ln (1) a ln (4)(=1,386294).

Passo 1

O enunciado pede para estimar ln(2) por interpolação linear, primeiro usando o intervalo de pontos (1,ln(1)=0) a (6,ln(6)=1,791759) e depois usando o intervalo de (1,ln(1)=0) a (4,ln(4)=1,386294). Para isso vamos usar a fórmula geral de interpolação linear:
y(x)approx y0 + (y1 - y0),x - x0x1 - x0

Passo 2

Aplicando ao primeiro intervalo com x0=1, y0=0, x1=6, y1=1,791759 e x=2, temos
ln(2)approx 0 + (1,791759-0),2-16-1 =1,791759cdot15 =0,3583518

Passo 3

Agora no segundo intervalo com x0=1, y0=0, x1=4, y1=1,386294 e x=2, obtemos
ln(2)approx 0 + 1,386294cdot2-14-1 =1,386294cdot13 =0,4620980

Passo 4

Como ln(x) é côncava para cima em x>0, ambas as estimativas subestimam o valor exato, mas a segunda (0,4620980) é melhor pois usa um intervalo mais próximo de x=2.

Resposta

Estimativa usando [1,6]: ln(2)approx0,358352
Estimativa usando [1,4]: ln(2)approx0,462098

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