(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule ln (2) utilizando os seguintes valores
ll x0=1 & f(x0)=0 x1=4 & f(x1)=1,386294 x2=6 & f(x2)=1,791759
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
(d) Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.

Passo 1

Estamos querendo aproximar usando o polinômio de Lagrange de grau 2 para a função nos pontos
Vamos usar a fórmula
onde

Passo 2

Calculamos as funções base elli(x):
ell0(x)=(x-4)(x-6)(1-4)(1-6)=(x-4)(x-6)15,
ell1(x)=(x-1)(x-6)(4-1)(4-6)=-(x-1)(x-6)6,
ell2(x)=(x-1)(x-4)(6-1)(6-4)=(x-1)(x-4)10

Passo 3

O polinômio interpolador fica
P2(x)=0cdotell0(x)+1,386294cdotell1(x)+1,791759cdotell2(x)

Passo 4

Agora avaliamos em x=2:
ell0(2)=(2-4)(2-6)15=(-2)(-4)15=815,
ell1(2)=-(2-1)(2-6)6=-1cdot(-4)6=46,
ell2(2)=(2-1)(2-4)10=1cdot(-2)10=-210
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P2(2) =0cdot815 +1,386294cdot46 +1,791759cdotl(-210r)
Calculando term a term:
1,386294cdot46=0,924196, 1,791759cdot210=0,358352,
P2(2)=0,924196-0,358352=0,565844

Resposta

A aproximação de ln(2) pelo polinômio de Lagrange de grau 2 é aproximadamente 0,565844.

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