Problema 4 Considere uma espira condutora quadrada de lado L, situada no plano do papel, e totalmente imersa em uma região muito grande, onde existe um campo magnético constante e uniforme \vec{B}. Considere que o campo magnético é perpendicular à área da espira e está saindo do papel em direção ao leitor. A partir de um certo instante, a espira começa a se mover, acelerando para a direita, sem sair da região de campo magnético.
a) Explique o que acontece com o fluxo de campo magnético através da espira. (JUSTIFIQUE)
b) Aparece corrente induzida na espira? (JUSTIFIQUE)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Uma espira condutora quadrada de lado L, no plano do papel.
    • Um campo magnético constante e uniforme \vec{B}, perpendicular à área da espira e saindo do papel (isto é, \vec{B} paralelo ao vetor normal da espira).
    • A espira começa, a partir de um certo instante, a mover-se e acelerar para a direita, sem sair da região onde o campo magnético existe (ou seja, a espira permanece totalmente imersa em \vec{B} uniforme).
  • Perguntas:
    a) O que acontece com o fluxo de campo magnético através da espira? (Justifique.)
    b) Aparece corrente induzida na espira? (Justifique.)

Passo 2

Conceito e fórmula do fluxo magnético (aula rápida e prática).
  • Definição: o fluxo magnético \Phi através de uma superfície é a medida da quantidade de campo magnético que atravessa essa superfície. A fórmula é
\Phi=\int \vec{B}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A} é o vetor área elementar (módulo igual à área do elemento, direção perpendicular à superfície e sentido escolhido).
  • No caso de campo uniforme e superfície plana com vetor normal bem definido, a integral simplifica para
\Phi = \vec{B}\cdot\vec{A}=BA\cos\theta,
onde:
  • B é o módulo de \vec{B},
  • A é a área da superfície (para o quadrado, A=L^2),
  • \theta é o ângulo entre \vec{B} e o vetor normal da superfície.
  • Aqui: \vec{B} é perpendicular à espira e saindo do papel, e o normal da espira está alinhado com \vec{B}. Portanto \theta=0 e \cos\theta=1.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema para encontrar \Phi.
  • Como a espira é quadrada de lado L, a área é
A=L^2.
  • Como \theta=0 e B é uniforme,
\Phi = BA = B L^2.
  • Observação importante: B é constante no valor e direcção, L é fixo (a espira não está sendo deformada) e a orientação relativa entre \vec{B} e a espira não muda (não há rotação). Logo \Phi é um valor constante no tempo.

Passo 4

Lei de Faraday (relacionando fluxo e corrente induzida) — explicação didática.
  • A lei de indução de Faraday diz que a força eletromotriz (fem) induzida numa espira é proporcional à variação temporal do fluxo magnético através da espira:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt},
onde:
  • \mathcal{E} é a fem induzida ao redor do circuito (unidade: volt),
  • \Phi é o fluxo magnético através da superfície delimitada pela espira,
  • o sinal negativo é a regra de Lenz (indica que a corrente induzida age para se opor à variação do fluxo).
  • Se \Phi não varia no tempo, então
\frac{d\Phi}{dt}=0\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}=0.
  • Com \mathcal{E}=0 e assumindo que o circuito é fechado mas não há outras fontes externas, não haverá corrente induzida (corrente induzida surge quando existe uma fem induzida não nula).

Passo 5

Visão alternativa (motional emf) — demonstração prática que confirma a conclusão.
  • Existe uma fórmula útil para fem motional quando um circuito se move num campo magnético:
\mathcal{E}=\oint (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{\ell},
onde:
  • \vec{v} é a velocidade local do elemento de fio d\vec{\ell},
  • o produto \vec{v}\times\vec{B} dá a força por unidade de carga (campo elétrico efetivo) que age sobre cargas móveis.
  • No nosso caso a espira realiza uma translação pura para a direita (toda a espira tem a mesma velocidade instantânea \vec{v}) e o campo \vec{B} é uniforme. Assim \vec{v}\times\vec{B} é um vetor constante ao longo do contorno.
  • Então a integral fica
\mathcal{E}=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\oint d\vec{\ell}.
  • Mas \oint d\vec{\ell}=0 para qualquer contorno fechado (soma vetorial de todos os elementos de comprimento de um laço fechado é o vetor nulo). Portanto \mathcal{E}=0.
  • Conclusão: pela visão de fem motional também não aparece fem e, consequentemente, não há corrente induzida.

Passo 6

Explicação física intuitiva e empática (sem matemática complicada).
  • Mesmo que cargas livres no metal sintam a força magnética \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} quando a espira se move, essa força tende a separar cargas localmente e cria um campo elétrico interno que rapidamente se ajusta para cancelar o movimento contínuo de cargas — formando uma polarização estática, não uma corrente contínua ao redor do laço.
  • Para haver corrente induzida é preciso que o fluxo magnético através da área delimitada pela espira mude no tempo — por exemplo se a espira saísse da região do campo, ou se o campo aumentasse/ diminuísse, ou se a espira rotacionasse. Nenhuma dessas coisas acontece aqui: a espira fica totalmente dentro de \vec{B} uniforme e não rota.
  • Portanto, apesar da aceleração/translação, não há variação de fluxo e, por isso, não surge corrente induzida. Forças magnéticas locais podem criar deslocamentos de carga momentâneos (polarização), mas não uma corrente contínua ao redor do circuito.

Passo 7

Resumo dos casos em que a conclusão mudaria (pra você lembrar na prova).
  • Se a espira atravessasse a borda da região de campo (saindo ou entrando), então \Phi mudaria e haveria corrente induzida.
  • Se o campo \vec{B} fosse não uniforme em espaço de modo que a área da espira atravessasse regiões com B diferente ao mover-se, também haveria variação de \Phi.
  • Se a espira rotacionasse alterando o ângulo \theta entre \vec{B} e o normal da espira, \Phi mudaria e apareceriam correntes induzidas.
  • Mas no caso dado (translação pura dentro de \vec{B} uniforme, sem rotação), a resposta é a já apresentada.

Resposta

a) O fluxo magnético através da espira permanece constante no tempo: \Phi = B L^{2} (não varia).
b) Não aparece corrente induzida na espira, pois a fem induzida \mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi}{dt}=0 (ou equivalentemente \mathcal{E}=\oint(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{\ell}=0).

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