\int \tan ^{5} \theta \operatorname{sec} ^{7} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}^{7}\theta\,d\theta.
Informações dadas e observações relevantes:
  • A função a integrar é \tan^{5}\theta\operatorname{sec}^{7}\theta.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função mais constante de integração C.
  • Podemos usar identidades trigonométricas e substituições usuais para integrar potências de \tan e \operatorname{sec}.

Passo 2

Escolha da estratégia (por que guardar um fator \operatorname{sec}\theta\tan\theta e usar u=\operatorname{sec}\theta):
  • Uma identidade útil é \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Portanto potências pares de \tan podem ser escritas em termos de \operatorname{sec}.
  • A derivada de \operatorname{sec}\theta é \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta. Assim, se eu conseguir um fator \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta na integral, posso fazer a substituição u=\operatorname{sec}\theta e transformar a integral em polinômio em u.
  • Por isso vamos reescrever a integral de modo a “separar” um fator \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Fatorar o integrando para isolar \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta:
\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}^{7}\theta\,d\theta = \int \bigl(\tan^{4}\theta\bigr)\bigl(\operatorname{sec}^{6}\theta\bigr)\bigl(\tan\theta\operatorname{sec}\theta\,d\theta\bigr).
Agora use a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para reescrever \tan^{4}\theta:
\tan^{4}\theta=\bigl(\tan^{2}\theta\bigr)^{2}=\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta-1\bigr)^{2}.

Passo 4

Faça a substituição u=\operatorname{sec}\theta. Então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Substituindo na integral:
  • \tan^{4}\theta=(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)^{2}=(u^{2}-1)^{2}.
  • \operatorname{sec}^{6}\theta=u^{6}.
  • \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta=du.
Portanto a integral vira
\int (u^{2}-1)^{2}\,u^{6}\,du.

Passo 5

Expandir o integrando em u:
(u^{2}-1)^{2}\,u^{6}= (u^{4}-2u^{2}+1)\,u^{6}=u^{10}-2u^{8}+u^{6}.
Agora integramos termo a termo usando a regra do poder: \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq -1).
Aplicando:
\int \bigl(u^{10}-2u^{8}+u^{6}\bigr)\,du = \frac{u^{11}}{11}-2\cdot\frac{u^{9}}{9}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 6

Volte para a variável \theta substituindo u=\operatorname{sec}\theta:
\frac{u^{11}}{11}-2\cdot\frac{u^{9}}{9}+\frac{u^{7}}{7}+C = \frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11}-\frac{2\operatorname{sec}^{9}\theta}{9}+\frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7}+C.

Passo 7

Comentário didático rápido (como checar): se você derivar
F(\theta)=\frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11}-\frac{2\operatorname{sec}^{9}\theta}{9}+\frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7},
usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta, vai recuperar \tan^{5}\theta\operatorname{sec}^{7}\theta. Isso confirma que a antiderivada encontrada está correta.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11}-\frac{2\operatorname{sec}^{9}\theta}{9}+\frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7}+C

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