Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações relevantes:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função mais constante de integração
. - Podemos usar identidades trigonométricas e substituições usuais para integrar potências de
e .
Passo 2
Escolha da estratégia (por que guardar um fator
e usar
):
- Uma identidade útil é
. Portanto potências pares de podem ser escritas em termos de . - A derivada de
é . Assim, se eu conseguir um fator na integral, posso fazer a substituição e transformar a integral em polinômio em . - Por isso vamos reescrever a integral de modo a “separar” um fator
.
Passo 3
Fatorar o integrando para isolar
:
Agora use a identidade
para reescrever
:
Passo 4
Faça a substituição
. Então
Substituindo na integral:
-
. -
. -
.
Portanto a integral vira
Passo 5
Expandir o integrando em
:
Agora integramos termo a termo usando a regra do poder:
(válida para
).
Aplicando:
Passo 6
Volte para a variável
substituindo
:
Passo 7
Comentário didático rápido (como checar): se você derivar
usando a regra da cadeia e
, vai recuperar
. Isso confirma que a antiderivada encontrada está correta.