Uma pequena bobina tem autoindutância de 10 \mu H. Uma corrente senoidal de amplitude 0,1 \mathrm{~A} e frequência 1 kHz passa através da bobina.
Calcule a fem medida na bobina.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a fem (força eletromotriz) medida numa pequena bobina quando passa por ela uma corrente senoidal. Dados fornecidos:
L=10\,\mu\text{H},
I_{\text{amplitude}}=0,1\\ \text{A},
f=1\\ \text{kHz}.
Pergunta explícita: calcular a fem medida na bobina (vou fornecer a amplitude da fem e também o seu valor eficaz — RMS — porque em prática aparelhos medem RMS).

Passo 2

Qual é a relação física que liga corrente e fem numa bobina? A lei do eletromagnetismo aplicada a indutores diz que a fem induzida é proporcional à variação temporal da corrente:
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}.
Aqui:
  • v(t) é a fem instantânea (em volts),
  • L é a autoindutância (em henries),
  • i(t) é a corrente que passa pela bobina (em ampères),
  • \dfrac{d}{dt} significa derivada em relação ao tempo (taxa de variação).
Vou explicar rápido a derivada: se i(t) muda no tempo, a derivada \dfrac{di}{dt} mede quão rápido essa mudança ocorre; quanto maior essa taxa, maior a fem induzida.

Passo 3

Modelamos a corrente senoidal com amplitude dada. Para uma corrente senoidal de amplitude I_m e frequência angular \omega escrevemos
i(t)=I_m\sin(\omega t).
Aqui:
  • I_m é a amplitude da corrente (no enunciado I_m=0,1\\ \text{A}),
  • \omega é a frequência angular em rad/s e está relacionada à frequência f por
\omega=2\pi f.

Passo 4

Calculemos a derivada de i(t). Usando a regra básica de derivação:
\frac{d}{dt}\bigl(\sin(\omega t)\bigr)=\omega\cos(\omega t).
Portanto
\frac{di(t)}{dt}=I_m\,\omega\cos(\omega t).
Substituindo na lei do indutor:
v(t)=L\,I_m\,\omega\cos(\omega t).
Daí vemos que a fem é também senoidal (fase deslocada de 90° em relação à corrente) e sua amplitude (valor de pico) é
V_{m}=L\,I_m\,\omega.

Passo 5

Agora calculamos \omega a partir de f:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 1{,}000 = 2{,}000\pi\\ \text{rad/s}\approx 6\,283{,}185\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Fazemos a conversão da indutância para henries e calculamos a amplitude V_m passo a passo:
L=10\,\mu\text{H}=10\times 10^{-6}\,\text{H}=1\times 10^{-5}\,\text{H}.
Multiplicando:
L\cdot I_m = 1\times 10^{-5}\cdot 0{,}1 = 1\times 10^{-6}.
Agora
V_{m}=L\,I_m\,\omega = 1\times 10^{-6}\cdot (2{,}000\pi)=2\times 10^{-3}\pi\\ \text{V}.
Em valor numérico aproximado:
V_{m}\approx 2\times 10^{-3}\cdot 3{,}14159265 \approx 6{,}283\times 10^{-3}\\ \text{V}=6{,}283\\ \text{mV}.
Arredondando com 3 algarismos significativos: V_{m}\approx 6{,}28\\ \text{mV}.

Passo 7

Se quisermos o valor eficaz (RMS) da fem — útil porque voltímetros normalmente medem valor eficaz — usamos que para uma senoide
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Assim
V_{\text{rms}}\approx\frac{6{,}283\\ \text{mV}}{\sqrt{2}}\approx\frac{6{,}283}{1{,}4142}\\ \text{mV}\approx 4{,}44\\ \text{mV}.

Passo 8

Resumo do raciocínio rápido para a prova: usar v=L\,di/dt; para i(t)=I_m\sin(\omega t) tem-se V_m=L I_m\omega; transformar correctement L em henries e \omega=2\pi f; calcular e, se necessário, obter RMS dividindo por \sqrt{2}. Você já pode fazer isso de cabeça rápido com poucos passos.

Resposta

V_{m}\approx 6{,}28\\ \text{mV}
V_{\text{rms}}\approx 4{,}44\\ \text{mV}

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