Exemplo 19.1 (Foust)
Determinar a área de aquecimento necessária para a produção de 10000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de solução de NaOH a 50 \% a partir de solução de NaOH a 10 \%, na temperatura inicial de 100^{\circ} \mathrm{F}. A evaporação será realizada num evaporador de tubos curtos que tem, conforme se espera, um coeficiente global de 500 \mathrm{Btu} / \mathrm{hft} 2^{\circ} \mathrm{F}. O vapor de água disponível está saturado a 50 psi , e o evaporador pode ser operado num vácuo de 10 psi em relação a pressão barométrica de 14,7 \mathrm{psi}.
Pabs=Patm-Pvácuo \quad 1 \mathrm{~atm}=14,7 \mathrm{psi}

Passo 1

O enunciado pede a área de aquecimento necessária para produzir \;10000\\ \mathrm{lb/h}\; de solução de NaOH a \;50\%\; a partir de solução a \;10\%, com alimentação a \;100^\circ\mathrm{F}. Dados fornecidos importantes:
\begin{aligned} &\text{Produção (produto)}\; P = 10000\\ \mathrm{lb/h},\\\ &\text{Concentração da alimentação}\; x_F = 0{,}10,\\\ &\text{Concentração do produto}\; x_P = 0{,}50,\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor}\; U = 500\\ \mathrm{Btu/(h\;ft^2\;^\circ F)},\\\ &\text{Vapor disponível: vapor saturado a}\; 50\\ \mathrm{psi}\\ (\text{conforme enunciado}),\\\ &\text{Evaporador operado a vácuo de}\; 10\\ \mathrm{psi}\\ \text{relativo a}\; P_{atm}=14{,}7\\ \mathrm{psi},\\\ &\text{Temperatura inicial da alimentação}\; T_{i}=100^\circ\mathrm{F}. \end{aligned}çãçãçãçãêíáçã
Observações que já extraí do enunciado e que vou usar sem perguntar mais nada: o vácuo se refere a \;P_{atm}-10\\ \mathrm{psi}, logo a pressão absoluta no evaporador é \;14{,}7-10 psi. Não fiz ainda contas — só organizei o que foi dado.

Passo 2

Fazer o balanço de massa do soluto (NaOH) para encontrar a vazão de alimentação \;F e a água evaporada \;E.
Conservação da massa do soluto:
F x_F = P x_P.
Isolando \;F:
F = \dfrac{P x_P}{x_F} = \dfrac{10000\cdot 0{,}50}{0{,}10} = 50000\\ \mathrm{lb/h}.
A quantidade de água evaporada por hora é a diferença entre alimentação e produto:
E = F - P = 50000 - 10000 = 40000\\ \mathrm{lb/h}.

Passo 3

Determinar as temperaturas de operação (vou pegar valores em tabela de vapor saturado — explicito que peguei esses dados de uma tabela de vapor saturado).
Pressão absoluta dentro do evaporador:
P_{abs} = P_{atm} - 10 = 14{,}7 - 10 = 4{,}7\\ \mathrm{psi}.
Da tabela de vapor saturado (peguei da tabela de vapor saturado), a temperatura de saturação correspondente a \;P_{abs}=4{,}7\\ \mathrm{psi} é aproximadamente
T_b = 140^\circ\mathrm{F}.
Da tabela de vapor saturado (peguei da mesma tabela) a temperatura de saturação do vapor disponível (vapor a \;50\\ \mathrm{psi} conforme enunciado) é aproximadamente
T_s = 320^\circ\mathrm{F}.
Observação didática: a razão de usar temperaturas de saturação é que o vapor condensa praticamente à sua temperatura de saturação (libera calor a T_s) e o líquido a ferver no evaporador ferve à sua temperatura de saturação (evaporação a T_b). A diferença T_s-T_b é, portanto, a força motriz de temperatura para o trocador.

Passo 4

Calcular o calor necessário para aquecer a alimentação de \;T_i=100^\circ\mathrm{F} até a temperatura de ebulição \;T_b (aquecimento sensível).
Vou assumir calor específico médio da solução próximo ao da água pura:
c_p \approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}.
(Explicação: para soluções aquosas diluídas o c_p é muito próximo de 1\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}. Usamos essa aproximação aqui; se você tivesse tabelas de propriedades da solução, poderia usar valores mais precisos.)
Energia sensível:
Q_{sens} = F c_p (T_b - T_i) = 50000\cdot 1{,}0\cdot (140 - 100).
Calculando:
Q_{sens} = 50000\cdot 40 = 2000000\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 5

Calcular o calor necessário para vaporizar \;E=40000\\ \mathrm{lb/h} de água à temperatura de ebulição \;T_b.
Da tabela de vapor saturado (peguei da tabela), o calor latente de vaporização à temperatura de saturação \;T_b=140^\circ\mathrm{F} é aproximadamente
h_{fg}\big|_{140^\circ\mathrm{F}} \approx 1075\\ \mathrm{Btu/lb}.
(Explicação: o calor latente depende fortemente da temperatura de ebulição; a tabela fornece esse valor. Aqui usei o valor típico para essa temperatura.)
Então a energia para vaporização é
Q_{vap} = E\;h_{fg} = 40000\cdot 1075 = 43000000\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 6

Calcular a energia total necessária:
Q_{total} = Q_{sens} + Q_{vap} = 2000000 + 43000000 = 45000000\\ \mathrm{Btu/h}.
(Resumo físico: aqueceu-se a alimentação até a temperatura de ebulição e depois evaporou-se a água necessária; a maior parcela é o calor latente da evaporação.)

Passo 7

Relacionar o calor necessário com a área de troca térmica usando Q = U A \Delta T_{lm}.
Aqui temos um caso simples: o vapor condensa à temperatura constante T_s e a solução ferve à temperatura constante T_b. Portanto a diferença de temperatura na superfície é praticamente constante e o log mean temperature difference reduz-se à diferença direta:
\Delta T_{lm} = T_s - T_b = 320 - 140 = 180^\circ\mathrm{F}.
(Explicação: quando ambas as temperaturas do fluido quente e do fluido frio são praticamente constantes, a força motriz é constante.)
A equação do balanço de calor fica
Q_{total} = U A (T_s - T_b).
Isolando a área:
A = \dfrac{Q_{total}}{U (T_s - T_b)}.

Passo 8

Substituir numericamente:
A = \dfrac{45000000}{500\cdot 180} = \dfrac{45000000}{90000} = 500\\ \mathrm{ft^2}.

Passo 9

Interpretação final e verificação rápida:
  • Verificamos as contas de balanço de massa e energia. A maior parcela do calor é a vaporização, como esperado.
  • Principais aproximações feitas: c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)} para a solução e uso de valores de tabela de vapor saturado para T_s, T_b e h_{fg} (eu declarei explicitamente que peguei esses valores da tabela).
  • Se você tiver uma tabela mais precisa do c_p da solução concentrada ou dos valores exatos de saturação para as pressões consideradas, o resultado pode variar um pouco, mas o procedimento é exatamente esse.

Resposta

500\\ \mathrm{ft^2}

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