Determinar a área de aquecimento necessária para a produção de 10000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de solução de NaOH a 50 \% a partir de solução de NaOH a 10 \%, na temperatura inicial de 100^{\circ} \mathrm{F}. A evaporação será realizada num evaporador de tubos curtos que tem, conforme se espera, um coeficiente global de 500 \mathrm{Btu} / \mathrm{hft} 2^{\circ} \mathrm{F}. O vapor de água disponível está saturado a 50 psi , e o evaporador pode ser operado num vácuo de 10 psi em relação a pressão barométrica de 14,7 \mathrm{psi}.
O enunciado pede a área de aquecimento necessária para produzir \;10000\\ \mathrm{lb/h}\; de solução de NaOH a \;50\%\; a partir de solução a \;10\%, com alimentação a \;100^\circ\mathrm{F}. Dados fornecidos importantes:
\begin{aligned} &\text{Produção (produto)}\; P = 10000\\ \mathrm{lb/h},\\\ &\text{Concentração da alimentação}\; x_F = 0{,}10,\\\ &\text{Concentração do produto}\; x_P = 0{,}50,\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor}\; U = 500\\ \mathrm{Btu/(h\;ft^2\;^\circ F)},\\\ &\text{Vapor disponível: vapor saturado a}\; 50\\ \mathrm{psi}\\ (\text{conforme enunciado}),\\\ &\text{Evaporador operado a vácuo de}\; 10\\ \mathrm{psi}\\ \text{relativo a}\; P_{atm}=14{,}7\\ \mathrm{psi},\\\ &\text{Temperatura inicial da alimentação}\; T_{i}=100^\circ\mathrm{F}. \end{aligned}
Observações que já extraí do enunciado e que vou usar sem perguntar mais nada: o vácuo se refere a \;P_{atm}-10\\ \mathrm{psi}, logo a pressão absoluta no evaporador é \;14{,}7-10 psi. Não fiz ainda contas — só organizei o que foi dado.
Passo 2
Fazer o balanço de massa do soluto (NaOH) para encontrar a vazão de alimentação \;F e a água evaporada \;E.
Conservação da massa do soluto:
F x_F = P x_P.
Isolando \;F:
F = \dfrac{P x_P}{x_F} = \dfrac{10000\cdot 0{,}50}{0{,}10} = 50000\\ \mathrm{lb/h}.
A quantidade de água evaporada por hora é a diferença entre alimentação e produto:
E = F - P = 50000 - 10000 = 40000\\ \mathrm{lb/h}.
Passo 3
Determinar as temperaturas de operação (vou pegar valores em tabela de vapor saturado — explicito que peguei esses dados de uma tabela de vapor saturado).
Da tabela de vapor saturado (peguei da tabela de vapor saturado), a temperatura de saturação correspondente a \;P_{abs}=4{,}7\\ \mathrm{psi} é aproximadamente
T_b = 140^\circ\mathrm{F}.
Da tabela de vapor saturado (peguei da mesma tabela) a temperatura de saturação do vapor disponível (vapor a \;50\\ \mathrm{psi} conforme enunciado) é aproximadamente
T_s = 320^\circ\mathrm{F}.
Observação didática: a razão de usar temperaturas de saturação é que o vapor condensa praticamente à sua temperatura de saturação (libera calor a T_s) e o líquido a ferver no evaporador ferve à sua temperatura de saturação (evaporação a T_b). A diferença T_s-T_b é, portanto, a força motriz de temperatura para o trocador.
Passo 4
Calcular o calor necessário para aquecer a alimentação de \;T_i=100^\circ\mathrm{F} até a temperatura de ebulição \;T_b (aquecimento sensível).
Vou assumir calor específico médio da solução próximo ao da água pura:
c_p \approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}.
(Explicação: para soluções aquosas diluídas o c_p é muito próximo de 1\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}. Usamos essa aproximação aqui; se você tivesse tabelas de propriedades da solução, poderia usar valores mais precisos.)
(Explicação: o calor latente depende fortemente da temperatura de ebulição; a tabela fornece esse valor. Aqui usei o valor típico para essa temperatura.)
(Resumo físico: aqueceu-se a alimentação até a temperatura de ebulição e depois evaporou-se a água necessária; a maior parcela é o calor latente da evaporação.)
Passo 7
Relacionar o calor necessário com a área de troca térmica usando Q = U A \Delta T_{lm}.
Aqui temos um caso simples: o vapor condensa à temperatura constante T_s e a solução ferve à temperatura constante T_b. Portanto a diferença de temperatura na superfície é praticamente constante e o log mean temperature difference reduz-se à diferença direta:
(Explicação: quando ambas as temperaturas do fluido quente e do fluido frio são praticamente constantes, a força motriz é constante.)
A equação do balanço de calor fica
Q_{total} = U A (T_s - T_b).
Isolando a área:
A = \dfrac{Q_{total}}{U (T_s - T_b)}.
Passo 8
Substituir numericamente:
A = \dfrac{45000000}{500\cdot 180} = \dfrac{45000000}{90000} = 500\\ \mathrm{ft^2}.
Passo 9
Interpretação final e verificação rápida:
Verificamos as contas de balanço de massa e energia. A maior parcela do calor é a vaporização, como esperado.
Principais aproximações feitas: c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)} para a solução e uso de valores de tabela de vapor saturado para T_s, T_b e h_{fg} (eu declarei explicitamente que peguei esses valores da tabela).
Se você tiver uma tabela mais precisa do c_p da solução concentrada ou dos valores exatos de saturação para as pressões consideradas, o resultado pode variar um pouco, mas o procedimento é exatamente esse.