Questão 3. valo2pono. Use o Teorema de Lagrange para localizar as raízes do polinômio
x^{4}-8 x+1
O que pode ser dito sobre o número de raízes positivas e negativas? Escreva a expressão da sequência gerada pelo método de Newton para achar uma dessas raízes.

Passo 1

O enunciado pede que usemos o Teorema de Lagrange para localizar as raízes do polinômio
x^{4}-8x+1.
As perguntas são:
  1. O que pode ser dito sobre o número de raízes positivas e negativas?
  2. Escrever a expressão da sequência gerada pelo método de Newton para achar uma dessas raízes.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
f(x)=x^{4}-8x+1.

Passo 2

Primeiro vamos usar o Teorema de Lagrange (no contexto de cálculo, isto é, o Teorema do Valor Médio) para limitar quantas raízes reais f pode ter. Vou enunciar a ideia usada: se uma função diferenciável tem três raízes reais distintas a<b<c, então, aplicando o Teorema do Valor Médio aos intervalos [a,b] e [b,c], obtemos pelo menos duas raízes distintas de f'. Portanto, se conseguirmos mostrar que f' tem apenas uma raiz real, então f não pode ter três (ou mais) raízes reais distintas — no máximo duas.

Passo 3

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=4x^{3}-8=4(x^{3}-2).
Resolver f'(x)=0
x^{3}=2 \quad\Rightarrow\quad x=2^{1/3}.
Esse é um único número real (as outras duas raízes cúbicas são complexas). Logo f' tem exatamente uma raiz real. Aplicando a observação do Passo 2, concluímos que f tem no máximo duas raízes reais.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que existem de fato duas raízes reais (ou nenhuma). Para isso usamos o Teorema do Valor Intermediário (ponto importante: se f é contínua e f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe uma raiz em (a,b)) e avaliações simples de f.
Calculemos alguns valores de f:
f(0)=0^{4}-8\cdot 0+1=1,
f(1)=1^{4}-8\cdot 1+1=1-8+1=-6,
f(2)=2^{4}-8\cdot 2+1=16-16+1=1.

Passo 5

Como f(0)=1>0 e f(1)=-6<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1).
Como f(1)=-6<0 e f(2)=1>0, existe pelo menos uma raiz em (1,2).
Portanto existem pelo menos duas raízes reais, uma em (0,1) e outra em (1,2). Juntando isso com o resultado do Passo 3 (no máximo duas raízes reais), concluímos que f tem exatamente duas raízes reais.

Passo 6

Agora determinamos o sinal para x\le 0 para ver se há raízes negativas. Para x\le 0 temos x^{4}\ge 0 e -8x\ge 0, então
f(x)=x^{4}-8x+1 \ge 0+0+1 = 1.
Logo f(x)\ge 1 para todo x\le 0. Portanto não existe nenhuma raiz negativa (nem em 0 nem em x<0).

Passo 7

Resumo do que já obtivemos (e resposta à primeira pergunta):
  • f tem exatamente duas raízes reais.
  • Ambas são positivas: uma em (0,1) e outra em (1,2).
  • Não há raízes negativas.

Passo 8

Agora vamos escrever a expressão da sequência do método de Newton para aproximar uma dessas raízes. O método de Newton para uma função f produz a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
No nosso caso f(x)=x^{4}-8x+1 e f'(x)=4x^{3}-8. Substituindo,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{4}-8x_{n}+1}{4x_{n}^{3}-8}.
Observações práticas (úteis na prova):
  • Escolha uma condição inicial x_{0} dentro do intervalo apropriado: por exemplo, para achar a raiz em (0,1) escolha x_{0}=0,5; para a raiz em (1,2) escolha x_{0}=1,5.
  • Evite escolher x_{0} muito perto de x=2^{1/3} porque aí f'(x) fica pequeno e as iterações podem ser problemáticas.

Resposta

Há exatamente duas raízes reais, ambas positivas: uma em (0,1) e outra em (1,2); não há raízes negativas.
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{4}-8x_{n}+1}{4x_{n}^{3}-8}.

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