Questão 3. valo2pono. Use o Teorema de Lagrange para localizar as raízes do polinômio
O que pode ser dito sobre o número de raízes positivas e negativas? Escreva a expressão da sequência gerada pelo método de Newton para achar uma dessas raízes.
Passo 1
O enunciado pede que usemos o Teorema de Lagrange para localizar as raízes do polinômio
As perguntas são:
- O que pode ser dito sobre o número de raízes positivas e negativas?
- Escrever a expressão da sequência gerada pelo método de Newton para achar uma dessas raízes.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Passo 2
Primeiro vamos usar o Teorema de Lagrange (no contexto de cálculo, isto é, o Teorema do Valor Médio) para limitar quantas raízes reais
pode ter. Vou enunciar a ideia usada: se uma função diferenciável tem três raízes reais distintas
, então, aplicando o Teorema do Valor Médio aos intervalos
e
, obtemos pelo menos duas raízes distintas de
. Portanto, se conseguirmos mostrar que
tem apenas uma raiz real, então
não pode ter três (ou mais) raízes reais distintas — no máximo duas.
Passo 3
Calculemos a derivada de
:
Resolver
dá
Esse é um único número real (as outras duas raízes cúbicas são complexas). Logo
tem exatamente uma raiz real. Aplicando a observação do Passo 2, concluímos que
tem no máximo duas raízes reais.
Passo 4
Agora precisamos mostrar que existem de fato duas raízes reais (ou nenhuma). Para isso usamos o Teorema do Valor Intermediário (ponto importante: se
é contínua e
e
têm sinais opostos, existe uma raiz em
) e avaliações simples de
.
Calculemos alguns valores de
:
Passo 5
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Como e
, existe pelo menos uma raiz em
.
Portanto existem pelo menos duas raízes reais, uma em e outra em
. Juntando isso com o resultado do Passo 3 (no máximo duas raízes reais), concluímos que
tem exatamente duas raízes reais.
Como
Portanto existem pelo menos duas raízes reais, uma em
Passo 6
Agora determinamos o sinal para
para ver se há raízes negativas. Para
temos
e
, então
Logo
para todo
. Portanto não existe nenhuma raiz negativa (nem em
nem em
).
Passo 7
Resumo do que já obtivemos (e resposta à primeira pergunta):
-
tem exatamente duas raízes reais. - Ambas são positivas: uma em
e outra em . - Não há raízes negativas.
Passo 8
Agora vamos escrever a expressão da sequência do método de Newton para aproximar uma dessas raízes. O método de Newton para uma função
produz a sequência
No nosso caso
e
. Substituindo,
Observações práticas (úteis na prova):
- Escolha uma condição inicial
dentro do intervalo apropriado: por exemplo, para achar a raiz em escolha ; para a raiz em escolha . - Evite escolher
muito perto de porque aí fica pequeno e as iterações podem ser problemáticas.
Resposta
Há exatamente duas raízes reais, ambas positivas: uma em
e outra em
; não há raízes negativas.