Exemplo 1.23. Calcule \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{2 x-1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{2x - 1}\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais, pois dentro da raiz temos uma expressão linear em x. Vamos usar a substituição para transformar a integral num polinômio de potência simples.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x - 1,
pois aí \sqrt{2x-1}=\sqrt{u}. Derivando,
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração. Quando x=\tfrac12,
u=2\cdot\tfrac12 -1 = 0,
e quando x=1,
u = 2\cdot1 -1 = 1.
Assim a integral fica
\int_{\frac12}^{1} \sqrt{2x-1}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{0}^{1} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{1/2} pela regra da potência:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Multiplicando o fator \tfrac12 que ficou fora e avaliando de 0 a 1, temos
\frac12 \cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(1^{\tfrac32} - 0^{\tfrac32}\bigr) = \frac{1}{3}.

Resposta

\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{2x - 1}\,dx = \frac{1}{3}.

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