Exemplo 22.7 no Eixo de um Disco Carregado
Considere um disco fino uniformemente carregado de raio e densidade superficial de carga . (a) Determine o campo elétrico em todos os pontos no eixo do disco. (b) Mostre que, para pontos no eixo e distantes dele, o campo elétrico se aproxima do caso de uma carga puntiforme na origem com a mesma carga do disco. (c) Mostre que, para um disco uniformemente carregado de raio infinito, o campo elétrico é uniforme em ambos os lados do disco.
Passo 1
O enunciado fala de um disco fino de raio com densidade superficial de carga , e pede o campo elétrico em pontos no eixo perpendicular ao disco. Isso envolve superpor os efeitos de anéis concêntricos de raio variável, usar a fórmula do campo de um anel no seu eixo e depois integrar. Também vamos verificar os limites (caso puntiforme) e (disco infinito).
Passo 2
Considere um anel de raio e espessura dentro do disco. A carga desse anel é
O campo gerado por esse anel no ponto do eixo a uma distância do plano do disco tem apenas componente axial, dada por
e está apontando ao longo de (se , aponta para longe do disco).
Passo 3
Substituindo em e integrando de até , temos
Fazendo a primitiva
obtemos
Ez(z) = sigma2varepsilon0,gl(1 - zraizz^2+b^2gr)
Portanto
boxedvec E(z) = Ez(z),hat z = sigma2varepsilon0l[1 - tfraczraizz^2+b^2r],hat z
Passo 4
Para zgg b usamos raizz^2+b^2approx zl(1+tfracb^22z^2r). Então
que é exatamente o campo de uma carga pontual Q=sigmapi b^2.
Passo 5
Para um disco de raio infinito (btoinfty) a fração z/raizz^2+b^2to0. Então
Ez = sigma2varepsilon0,(1-0) = sigma2varepsilon0,
constante e independente de z, apontando para longe do disco de um lado e para o outro lado mudando o sentido de hat z.
Resposta
(a) vec E(z)=sigma2varepsilon0l[1-tfraczraizz^2+b^2r]hat z
(b) Para zgg b, Eto tfracQ4pivarepsilon0z^2 com Q=sigmapi b^2.
(c) Para btoinfty, E=tfracsigma2varepsilon0 (campo uniforme).