Exemplo 22.7 E no Eixo de um Disco Carregado
Considere um disco fino uniformemente carregado de raio b e densidade superficial de carga sigma. (a) Determine o campo elétrico em todos os pontos no eixo do disco. (b) Mostre que, para pontos no eixo e distantes dele, o campo elétrico se aproxima do caso de uma carga puntiforme na origem com a mesma carga do disco. (c) Mostre que, para um disco uniformemente carregado de raio infinito, o campo elétrico é uniforme em ambos os lados do disco.

Passo 1

O enunciado fala de um disco fino de raio b com densidade superficial de carga sigma, e pede o campo elétrico vec E em pontos no eixo perpendicular ao disco. Isso envolve superpor os efeitos de anéis concêntricos de raio variável, usar a fórmula do campo de um anel no seu eixo e depois integrar. Também vamos verificar os limites zgg b (caso puntiforme) e btoinfty (disco infinito).

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr dentro do disco. A carga desse anel é
dQ = sigma,(2pi r,dr)
O campo gerado por esse anel no ponto do eixo a uma distância z do plano do disco tem apenas componente axial, dada por
dEz = 14pivarepsilon0,z,dQl(z^2+r^2r)^3/2
e está apontando ao longo de hat z (se z>0, aponta para longe do disco).

Passo 3

Substituindo dQ em dEz e integrando r de 0 até b, temos
Ez(z) = 14pivarepsilon0,integral0^bz,sigma,2pi r,drl(z^2+r^2r)^3/2 = sigma z2varepsilon0integral0^br,drl(z^2+r^2r)^3/2
Fazendo a primitiva
integralr,dr(z^2+r^2)^3/2 = -1raizz^2+r^2g|0^b = 1z - 1raizz^2+b^2,
obtemos
Ez(z) = sigma2varepsilon0,gl(1 - zraizz^2+b^2gr)
Portanto
boxedvec E(z) = Ez(z),hat z = sigma2varepsilon0l[1 - tfraczraizz^2+b^2r],hat z

Passo 4

Para zgg b usamos raizz^2+b^2approx zl(1+tfracb^22z^2r). Então
1 - zraizz^2+b^2 approx 1 - zzl(1+tfracb^22z^2r) approx 1 - l(1 - b^22z^2r) = b^22z^2
Logo
Ezapprox sigma2varepsilon0,b^22z^2 = sigmapi b^24pivarepsilon0,z^2 = Q4pivarepsilon0,z^2,
que é exatamente o campo de uma carga pontual Q=sigmapi b^2.

Passo 5

Para um disco de raio infinito ( btoinfty) a fração z/raizz^2+b^2to0. Então
Ez = sigma2varepsilon0,(1-0) = sigma2varepsilon0,
constante e independente de z, apontando para longe do disco de um lado e para o outro lado mudando o sentido de hat z.

Resposta

(a) vec E(z)=sigma2varepsilon0l[1-tfraczraizz^2+b^2r]hat z
(b) Para zgg b, Eto tfracQ4pivarepsilon0z^2 com Q=sigmapi b^2.
(c) Para btoinfty, E=tfracsigma2varepsilon0 (campo uniforme).

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