Exemplo 1.24. Calcule \int_{0}^{1} e^{3 x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}e^{3x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções exponenciais. Vamos usar a fórmula geral
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,
onde a é constante.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de e^{3x}, podemos lembrar que a derivada de 3x é 3. Assim, aplicando a fórmula com a=3, obtemos
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\,e^{3x} + C.

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva entre x=0 e x=1:
\int_{0}^{1}e^{3x}\,dx = \left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}e^{3\cdot1} - \frac{1}{3}e^{3\cdot0} = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{3}-1}{3}

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