Exemplo 1.26. Calcule \int_{-1}^{2} x \cdot \sqrt{x^{2}+1} d x.

Passo 1

O problema pede para calcular
\int_{-1}^{2} x\sqrt{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição em integrais, aproveitando que a derivada de x^2+1 é 2x.

Passo 2

Façamos a substituição
u = x^2 + 1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Também trocamos os limites de x para u:
quando x=-1, u = (-1)^2+1 = 2;
quando x=2, u = 2^2+1 = 5.
Assim a integral vira
\int_{-1}^{2} x\sqrt{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=2}^{u=5} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Calculemos
\frac{1}{2}\int_{2}^{5} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\,\Bigl[\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}\Bigr]_{2}^{5} = \frac{1}{3}\,\bigl[u^{\tfrac32}\bigr]_{2}^{5}.

Passo 5

Avaliaremos nos limites:
\frac{1}{3}\bigl(5^{\tfrac32}-2^{\tfrac32}\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\bigr).

Exercícios relacionados