Exemplo 24. Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\frac{1}{x}+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) dar o domínio da função e (2) esboçar o gráfico da função y=\dfrac{1}{x}+1.
Informações dadas pelo enunciado e pela figura (peguei estas informações da imagem enviada):
  • A função é y=\dfrac{1}{x}+1.
  • A imagem fornece um plano cartesiano com marcações inteiras no eixo x de -5 a 5 e no eixo y aproximadamente de -4 a 6.

Passo 2

Entender o domínio: a função é uma fração com denominador x. Regra básica: não se pode dividir por zero. Portanto é preciso excluir x=0.
  • Condição para x ser permitido: x\neq0.
  • Escrita do domínio em forma de intervalo:
\text{Domínio} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).í
Explicação didática curta: qualquer x real serve, exceto 0, porque se x=0 o termo \dfrac{1}{x} não está definido.

Passo 3

Procurar assíntotas (úteis para o esboço):
  • Assíntota vertical: ocorrerá quando o denominador tende a zero e a função explode. Aqui x=0 é assíntota vertical. Ou seja, a reta x=0 (o eixo y) é uma assíntota vertical.
  • Assíntota horizontal: para x muito grande em módulo, \dfrac{1}{x}\to0. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{1}{x}+1\right)=1,
então y=1 é assíntota horizontal.
Interpretação prática: o gráfico tem duas retas-guia: x=0 (vertical) e y=1 (horizontal). As duas se cruzam em (0,1), que é o centro da hipérbole resultante.

Passo 4

Calcular interseções e pontos chave para desenhar:
  • Interseção com o eixo y: ocorre em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio, então NÃO há intercepto em y. Escrevendo: não existe valor de y com x=0.
  • Interseção com o eixo x (achar x tal que y=0):
\dfrac{1}{x}+1=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{x}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Portanto há um zero da função em \,(-1,0).
  • Alguns pontos adicionais fáceis de calcular para guiar o desenho:
x=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{1}+1=2,
x=2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}=1{,}5,
x=4 \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}+1=1{,}25,
x=-2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{-2}+1=0{,}5,
x=-\tfrac{1}{2} \Rightarrow y=\dfrac{1}{-1/2}+1=-2+1=-1.
Esses pontos mostram como as duas “ramificações” se comportam: do lado direito ( x>0) y>1; do lado esquerdo ( x<0) y fica abaixo de 1 (pode ser positivo ou negativo dependendo de x).

Passo 5

Descrever o comportamento junto às assíntotas (isso ajuda a desenhar corretamente):
  • Quando x\to0^{+}, \dfrac{1}{x}\to+\infty então y\to+\infty. Assim o ramo direito sobe para +\infty próximo de x=0^{+}.
  • Quando x\to0^{-}, \dfrac{1}{x}\to-\infty então y\to-\infty. Assim o ramo esquerdo desce para -\infty próximo de x=0^{-}.
  • Quando x\to+\infty, y\to1^{+} (aproxima y=1 por cima).
  • Quando x\to-\infty, y\to1^{-} (aproxima y=1 por baixo).
    Em palavras: o gráfico é uma hipérbole com duas ramificações. A ramificação em x>0 fica sempre acima de y=1, aproximando y=1 para a direita e subindo para +\infty ao se aproximar de x=0. A ramificação em x<0 cruza o eixo x em (-1,0), vem de y\approx1 quando x\to-\infty e vai para -\infty quando x\to0^{-}.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo do desenho):
  1. Desenhar o sistema de eixos. Marcar eixos x e y com unidades inteiras (a imagem já mostra essas grades).
  2. Traçar em tracejado a assíntota vertical x=0 e a assíntota horizontal y=1. Elas guiarão o desenho.
  3. Marcar os pontos calculados: por exemplo (-1,0), (1,2), (2,1{,}5), (4,1{,}25), (-2,0{,}5), (-1/2,-1).
  4. Desenhar suavemente a ramificação para x>0: passe por (1,2), por (2,1{,}5), aproximando-se de y=1 à direita e subindo sem limite ao aproximar x de 0^{+}.
  5. Desenhar a ramificação para x<0: passe por (-2,0{,}5) e (-1,0), aproximando-se de y=1 quando x\to-\infty e descendo para -\infty ao aproximar x de 0^{-}.
  6. Conferir que não há ponto em x=0 e que y=1 nunca é atingida (a função nunca vale 1).

Resposta

\text{Domínio} = (-\infty,0)\cup(0,\infty)í
Esboço: hipérbole com assíntotas x=0 (vertical) e y=1 (horizontal); ramificação para x>0 acima de y=1 passando por (1,2) e ramificação para x<0 abaixo de y=1 cruzando o eixo x em (-1,0).

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