Exemplo 24. Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dar o domínio da função e (2) esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas pelo enunciado e pela figura (peguei estas informações da imagem enviada):
Informações dadas pelo enunciado e pela figura (peguei estas informações da imagem enviada):
- A função é
. - A imagem fornece um plano cartesiano com marcações inteiras no eixo
de a e no eixo aproximadamente de a .
Passo 2
Entender o domínio: a função é uma fração com denominador
. Regra básica: não se pode dividir por zero. Portanto é preciso excluir
.
- Condição para
ser permitido: . - Escrita do domínio em forma de intervalo:
Explicação didática curta: qualquer
real serve, exceto
, porque se
o termo
não está definido.
Passo 3
Procurar assíntotas (úteis para o esboço):
- Assíntota vertical: ocorrerá quando o denominador tende a zero e a função explode. Aqui
é assíntota vertical. Ou seja, a reta (o eixo ) é uma assíntota vertical. - Assíntota horizontal: para
muito grande em módulo, . Logo
então
é assíntota horizontal.
Interpretação prática: o gráfico tem duas retas-guia: (vertical) e
(horizontal). As duas se cruzam em
, que é o centro da hipérbole resultante.
Interpretação prática: o gráfico tem duas retas-guia:
Passo 4
Calcular interseções e pontos chave para desenhar:
- Interseção com o eixo
: ocorre em , mas não pertence ao domínio, então NÃO há intercepto em . Escrevendo: não existe valor de com . - Interseção com o eixo
(achar tal que ):
Portanto há um zero da função em
.
- Alguns pontos adicionais fáceis de calcular para guiar o desenho:
Esses pontos mostram como as duas “ramificações” se comportam: do lado direito (
)
; do lado esquerdo (
)
fica abaixo de
(pode ser positivo ou negativo dependendo de
).
Passo 5
Descrever o comportamento junto às assíntotas (isso ajuda a desenhar corretamente):
- Quando
, então . Assim o ramo direito sobe para próximo de . - Quando
, então . Assim o ramo esquerdo desce para próximo de . - Quando
, (aproxima por cima). - Quando
, (aproxima por baixo).
Em palavras: o gráfico é uma hipérbole com duas ramificações. A ramificação emfica sempre acima de , aproximando para a direita e subindo para ao se aproximar de . A ramificação em cruza o eixo em , vem de quando e vai para quando .
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo do desenho):
- Desenhar o sistema de eixos. Marcar eixos
e com unidades inteiras (a imagem já mostra essas grades). - Traçar em tracejado a assíntota vertical
e a assíntota horizontal . Elas guiarão o desenho. - Marcar os pontos calculados: por exemplo
, , , , , . - Desenhar suavemente a ramificação para
: passe por , por , aproximando-se de à direita e subindo sem limite ao aproximar de . - Desenhar a ramificação para
: passe por e , aproximando-se de quando e descendo para ao aproximar de . - Conferir que não há ponto em
e que nunca é atingida (a função nunca vale ).
Resposta
Esboço: hipérbole com assíntotas