Exemplo 24. Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\frac{1}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) dar o domínio da função e (2) esboçar o gráfico de y=\dfrac{1}{1+x}.
Informações relevantes dadas no enunciado: a própria expressão da função y=\dfrac{1}{1+x} e a imagem do plano cartesiano (grade) onde o gráfico deve ser desenhado.

Passo 2

Determinar o domínio: a função é uma fração com denominador 1+x. Uma fração real não é definida quando o denominador vale zero. Então achamos os valores de x que anulam o denominador resolvendo
1+x=0.
Isso dá
x=-1.
Portanto x=-1 está proibido. O domínio são todos os reais exceto -1. Em notação:
\text{Domínio} = \mathbb{R}\setminus\{-1\} = (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).í

Passo 3

Assíntota vertical: explicar por que há assíntota em x=-1. Quando x se aproxima de -1 o denominador 1+x fica muito pequeno, então o valor da fração cresce em módulo. Mais precisamente:
\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{1+x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{1+x}=+\infty.
Esses limites mostram que x=-1 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Assíntota horizontal: examinar o comportamento quando x fica muito grande positivo ou negativo. Se x\to\infty ou x\to-\infty, o termo 1+x cresce em módulo e
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+x}=0.
Logo y=0 é uma assíntota horizontal (a curva aproxima-se de y=0 para x muito grande em módulo).

Passo 5

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo y: colocar x=0:
y(0)=\frac{1}{1+0}=1.
Logo o ponto (0,1) é o intercepto em y.
  • Intercepto com o eixo x: resolver \dfrac{1}{1+x}=0. Isso não tem solução porque o numerador é constante 1 (nunca zero). Portanto não há intercepto com o eixo x.

Passo 6

Sinal da função e localização das ramificações: estudar o sinal do denominador 1+x.
  • Para x>-1 tem 1+x>0 então y>0. A ramificação correspondente fica acima de y=0 (parte superior direita, aproximando y=0^+ quando x\to\infty e indo para +\infty quando x\to-1^+).
  • Para x<-1 tem 1+x<0 então y<0. A outra ramificação fica abaixo de y=0 (parte inferior esquerda, aproximando y=0^- quando x\to-\infty e indo para -\infty quando x\to-1^-).

Passo 7

Interpretação por transformação geométrica (truque prático para esboçar): a função pode ser vista como
y=\frac{1}{x+1}.
Se definirmos u=x+1, então y=\dfrac{1}{u}. Isso significa que o gráfico de y=\dfrac{1}{x} foi deslocado uma unidade para a esquerda (translação x\mapsto x+1). Portanto basta saber o formato da hipérbole y=1/x e deslocá-la para a esquerda em 1 unidade.

Passo 8

Tabela de pontos práticos para marcar no esboço (valores fáceis, calculados passo a passo):
  • Para x=-4: y=\dfrac{1}{1+(-4)}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}.
  • Para x=-2: y=\dfrac{1}{1+(-2)}=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • Para x=-1{,}5: y=\dfrac{1}{1-1{,}5}=\dfrac{1}{-0{,}5}=-2.
  • Para x=-0{,}5: y=\dfrac{1}{1-0{,}5}=\dfrac{1}{0{,}5}=2.
  • Para x=0: y=1 (já visto).
  • Para x=1: y=\dfrac{1}{2}.
  • Para x=4: y=\dfrac{1}{5}=0{,}2.
Marcar esses pontos ajuda a traçar a curva com confiança.

Passo 9

Monotonicidade (ajuda no traçado): reescrevendo y=(1+x)^{-1} e derivando,
y'=-1\cdot(1+x)^{-2}=-\frac{1}{(1+x)^2}.
Como (1+x)^2>0 para todo x\neq-1, segue que y'<0 em cada intervalo do domínio. Ou seja, a função é estritamente decrescente em (-\infty,-1) e também em (-1,\infty). Essa informação confirma a forma das ramificações: cada ramo desce monotonicamente e aproxima-se das assíntotas.

Passo 10

Como esboçar passo a passo (prático, faça assim no caderno):
  1. Desenhe os eixos e trace linhas tracejadas para as assíntotas x=-1 (vertical) e y=0 (horizontal).
  2. Marque o ponto de intercepto (0,1).
  3. Marque os pontos da tabela (ex.: (-4,-\tfrac{1}{3}), (-2,-1), (-1{,}5,-2), (-0{,}5,2), (1,\tfrac{1}{2}), (4,\tfrac{1}{5})).
  4. Desenhe suavemente duas curvas hiperbólicas: uma para x>-1 acima de y=0 que passa por (0,1) e tende a y=0^+ quando x\to\infty e a +\infty quando x\to-1^+; outra para x<-1 abaixo de y=0 que tende a y=0^- quando x\to-\infty e a -\infty quando x\to-1^-.
  5. Verifique que as curvas são decrescentes em cada intervalo (descem à medida que x cresce dentro de cada ramo).
Dica final: pense em y=\dfrac{1}{x} e deslize o gráfico uma unidade para a esquerda — isso já te dá rapidamente a forma correta.

Resposta

\text{Domínio} = (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)í
Esboço: hipérbole com assíntotas x=-1 (vertical) e y=0 (horizontal), ramo superior para x>-1 (positivo) passando por (0,1) e ramo inferior para x<-1 (negativo), conforme a tabela de pontos indicada.

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