Exemplo 24. Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dar o domínio da função e (2) esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes dadas no enunciado: a própria expressão da função e a imagem do plano cartesiano (grade) onde o gráfico deve ser desenhado.
Informações relevantes dadas no enunciado: a própria expressão da função
Passo 2
Determinar o domínio: a função é uma fração com denominador
. Uma fração real não é definida quando o denominador vale zero. Então achamos os valores de
que anulam o denominador resolvendo
Isso dá
Portanto
está proibido. O domínio são todos os reais exceto
. Em notação:
Passo 3
Assíntota vertical: explicar por que há assíntota em
. Quando
se aproxima de
o denominador
fica muito pequeno, então o valor da fração cresce em módulo. Mais precisamente:
Esses limites mostram que
é uma assíntota vertical.
Passo 4
Assíntota horizontal: examinar o comportamento quando
fica muito grande positivo ou negativo. Se
ou
, o termo
cresce em módulo e
Logo
é uma assíntota horizontal (a curva aproxima-se de
para
muito grande em módulo).
Passo 5
Interceptos com os eixos:
- Intercepto com o eixo
: colocar :
Logo o ponto
é o intercepto em
.
- Intercepto com o eixo
: resolver . Isso não tem solução porque o numerador é constante (nunca zero). Portanto não há intercepto com o eixo .
Passo 6
Sinal da função e localização das ramificações: estudar o sinal do denominador
.
- Para
tem então . A ramificação correspondente fica acima de (parte superior direita, aproximando quando e indo para quando ). - Para
tem então . A outra ramificação fica abaixo de (parte inferior esquerda, aproximando quando e indo para quando ).
Passo 7
Interpretação por transformação geométrica (truque prático para esboçar): a função pode ser vista como
Se definirmos
, então
. Isso significa que o gráfico de
foi deslocado uma unidade para a esquerda (translação
). Portanto basta saber o formato da hipérbole
e deslocá-la para a esquerda em 1 unidade.
Passo 8
Tabela de pontos práticos para marcar no esboço (valores fáceis, calculados passo a passo):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: (já visto). - Para
: - Para
:
Marcar esses pontos ajuda a traçar a curva com confiança.
Passo 9
Monotonicidade (ajuda no traçado): reescrevendo
e derivando,
Como
para todo
, segue que
em cada intervalo do domínio. Ou seja, a função é estritamente decrescente em
e também em
. Essa informação confirma a forma das ramificações: cada ramo desce monotonicamente e aproxima-se das assíntotas.
Passo 10
Como esboçar passo a passo (prático, faça assim no caderno):
- Desenhe os eixos e trace linhas tracejadas para as assíntotas
(vertical) e (horizontal). - Marque o ponto de intercepto
. - Marque os pontos da tabela (ex.:
, , , , , ). - Desenhe suavemente duas curvas hiperbólicas: uma para
acima de que passa por e tende a quando e a quando ; outra para abaixo de que tende a quando e a quando . - Verifique que as curvas são decrescentes em cada intervalo (descem à medida que
cresce dentro de cada ramo).
Dica final: pense em
e deslize o gráfico uma unidade para a esquerda — isso já te dá rapidamente a forma correta.
Resposta
Esboço: hipérbole com assíntotas