Exemplo 1.31. Calcule \int x^{3} \cdot \cos \left(x^{4}+2\right) d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
\displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx.
Perceba que dentro do \cos está x^{4}+2 e sua derivada 4x^{3} aparece multiplicando, então faz sentido usar substituição.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{4} + 2, \quad du = 4x^{3}\,dx.
Desse modo,
x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\,\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C

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