Exemplo 30. Considere a curva C:\left(t^{2}, t^{3}\right), com t \in \mathbb{R}. Encontre a curvatura no ponto P \in C que corresponde a t=1 / 2. Obtenha também o círculo de curvatura para C em P.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
C:\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t^{2},t^{3}\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede (i) a curvatura \kappa em t=\tfrac12 e (ii) o círculo de curvatura (osculador) em P=C\bigl(\tfrac12\bigr). Vamos usar a fórmula da curvatura de curva paramétrica
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}
e depois determinar o centro M e o raio R=1/\kappa do círculo osculador via o versor tangente T e normal N.

Passo 2

Calculemos x',y',x'',y'' e \kappa em t=\tfrac12.
x'(t)=2t,\quad y'(t)=3t^{2},\quad x''(t)=2,\quad y''(t)=6t.
Em t=\tfrac12:
x'\bigl(\tfrac12\bigr)=1,\quad y'\bigl(\tfrac12\bigl)=\tfrac34,\quad x''\bigl(\tfrac12\bigl)=2,\quad y''\bigl(\tfrac12\bigl)=3.
Logo o numerador da curvatura é
\bigl|x'y''-y'x''\bigr|=\bigl|1\cdot3-\tfrac34\cdot2\bigr|=\bigl|3-\tfrac32\bigr|=\tfrac32
e o denominador é
\bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(1^{2}+(\tfrac34)^{2}\bigr)^{3/2} =\bigl(\tfrac{25}{16}\bigr)^{3/2} =\frac{125}{64}.
Portanto
\kappa\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{\tfrac32}{\tfrac{125}{64}} =\frac32\cdot\frac{64}{125} =\frac{96}{125}.

Passo 3

O raio do círculo de curvatura é
R=\frac{1}{\kappa\bigl(\tfrac12\bigr)}=\frac{125}{96}.

Passo 4

Precisamos do versor tangente unitário T em t=\tfrac12:
\|v\|=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}=\sqrt{\tfrac{25}{16}}=\frac{5}{4},\qquad T=\frac{1}{\|v\|}(x',y')=\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr).
Como x'y''-y'x''>0, o versor normal principal é
N=\bigl(-T_{y},T_{x}\bigr)=\bigl(-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr).
O ponto P=C(\tfrac12) é
P=\bigl(x(\tfrac12),y(\tfrac12)\bigr)=\bigl(\tfrac14,\tfrac18\bigr).
Logo o centro M do círculo osculador vale
M=P+R\,N =\Bigl(\tfrac14,\tfrac18\Bigr) +\frac{125}{96}\Bigl(-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr).
Calculando cada coordenada:
\frac{125}{96}\cdot\frac{3}{5}=\frac{25}{32},\quad \frac{125}{96}\cdot\frac{4}{5}=\frac{25}{24},
então
M=\Bigl(\tfrac14-\tfrac{25}{32},\;\tfrac18+\tfrac{25}{24}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{17}{32},\;\tfrac{7}{6}\Bigr).

Passo 5

A equação do círculo de centro M e raio R é
\bigl(x+{\tfrac{17}{32}}\bigr)^{2}+\bigl(y-{\tfrac{7}{6}}\bigr)^{2} =\Bigl(\tfrac{125}{96}\Bigr)^{2} =\frac{15625}{9216}.

Resposta

A curvatura em t=\tfrac12 é \kappa=\tfrac{96}{125}.
O círculo de curvatura em P\bigl(\tfrac14,\tfrac18\bigr) tem centro
M=\Bigl(-\tfrac{17}{32},\;\tfrac{7}{6}\Bigr)
e raio
R=\frac{125}{96},
cuja equação é
\bigl(x+{\tfrac{17}{32}}\bigr)^{2}+\bigl(y-{\tfrac{7}{6}}\bigr)^{2} =\frac{15625}{9216}.

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