Exemplo 28. Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\sqrt{x}-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: dar o domínio e esboçar o gráfico da função \,y=\sqrt{x}-1\,.
Informações dadas:
  • A função é \,y=\sqrt{x}-1\,.
  • Foi fornecida uma imagem com um plano cartesiano quadriculado (eixos x e y) que pode ser usada para esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar da regra do radical quadrado. A raiz quadrada real existe apenas quando o radicando é não negativo. Aqui o radicando é x. Logo impõe-se
x \ge 0.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os x tais que x é maior ou igual a zero, ou seja, [0,\infty).
Breve explicação didática: a função \sqrt{x} só está definida para valores de x que não fazem o número dentro da raiz ficar negativo, porque estamos trabalhando com números reais. Por isso fazemos a condição x\ge 0.

Passo 3

Determinar o contradomínio (faixa de valores possíveis, útil para esboçar): como \sqrt{x} é sempre não negativa para x\ge0, isto é \sqrt{x}\ge0, temos
y=\sqrt{x}-1 \ge 0 - 1 = -1.
Logo a imagem (intervalo de valores de y) é [-1,\infty).
Didática: a subtração de 1 apenas desloca a curva para baixo uma unidade; nada passa a dar valores menores que -1 porque a raiz nunca é negativa.

Passo 4

Achar interceptos (pontos úteis para o esboço).
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0):
y=\sqrt{0}-1=0-1=-1.
Então o ponto de interseção com o eixo y é \,(0,-1).
  • Interseção com o eixo x (colocar y=0):
0=\sqrt{x}-1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então a interseção com o eixo x é \,(1,0).
Esses dois pontos são fundamentais: a curva começa em (0,-1) e cruza o eixo x em (1,0).

Passo 5

Calcular alguns pontos adicionais para orientar o traço do gráfico (escolher x que geram raízes inteiras facilita):
  • Para \,x=0\,:\\ \; y=\sqrt{0}-1=-1. Ponto \,(0,-1).
  • Para \,x=1\,:\\ \; y=\sqrt{1}-1=0. Ponto \,(1,0).
  • Para \,x=4\,:\\ \; y=\sqrt{4}-1=2-1=1. Ponto \,(4,1).
  • Para \,x=9\,:\\ \; y=\sqrt{9}-1=3-1=2. Ponto \,(9,2).
Didática: escolher x quadrados perfeitos dá valores de \sqrt{x} inteiros, o que facilita desenhar.

Passo 6

Descrever a forma da curva e comportamento:
  • A função é crescente para x\ge0: conforme x aumenta, \sqrt{x} aumenta, logo y=\sqrt{x}-1 também aumenta.
  • A taxa de aumento diminui com x: a raiz cresce mais rápido perto de x=0 e mais lentamente quando x é grande. Uma forma de ver isso é a derivada (apenas para intuição): para x>0,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0,
que é grande quando x é pequeno e tende a 0 quando x\to\infty. Isso explica por que a curva sai “íngreme” perto de (0,-1) e vai ficando mais suave para a direita.
Explicação simples: a curva tem início em (0,-1), sobe passando por (1,0) e vai subindo cada vez mais devagar, sem nunca virar para baixo.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (técnica prática que dá para usar na prova sem calculadora):
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar os pontos inteiros úteis.
  2. Marcar os pontos \,(0,-1),\\ (1,0),\\ (4,1),\\ (9,2) (todos calculados antes).
  3. Ligar esses pontos com uma curva suave que começa exatamente em (0,-1) e segue para a direita subindo lentamente, lembrando que a inclinação é maior perto da origem e diminui depois.
  4. Não desenhar nada para x<0 (a função não existe ali). Colocar uma bolinha fechada em (0,-1) para indicar que o ponto pertence ao gráfico.
  5. Opcional: escrever perto da curva a fórmula \,y=\sqrt{x}-1\, e marcar o domínio [0,\infty).

Passo 8

Interpretação por transformações (para fixar a ideia): a curva é justamente o gráfico de \sqrt{x} deslocado verticalmente 1 unidade para baixo. Se lembrar do gráfico padrão de \sqrt{x} (começa em (0,0) e é crescente), basta deslocar tudo para baixo até que (0,0) vire (0,-1).

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Esboço do gráfico: curva que começa em (0,-1), passa por (1,0), (4,1), (9,2), é crescente e fica cada vez mais suave para x\to\infty.

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