Exemplo 28. Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: dar o domínio e esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Foi fornecida uma imagem com um plano cartesiano quadriculado (eixos
e ) que pode ser usada para esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar da regra do radical quadrado. A raiz quadrada real existe apenas quando o radicando é não negativo. Aqui o radicando é
. Logo impõe-se
Portanto o domínio é o conjunto de todos os
tais que
é maior ou igual a zero, ou seja,
.
Breve explicação didática: a função
só está definida para valores de
que não fazem o número dentro da raiz ficar negativo, porque estamos trabalhando com números reais. Por isso fazemos a condição
.
Passo 3
Determinar o contradomínio (faixa de valores possíveis, útil para esboçar): como
é sempre não negativa para
, isto é
, temos
Logo a imagem (intervalo de valores de
) é
.
Didática: a subtração de
apenas desloca a curva para baixo uma unidade; nada passa a dar valores menores que
porque a raiz nunca é negativa.
Passo 4
Achar interceptos (pontos úteis para o esboço).
- Interseção com o eixo
(colocar ):
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
- Interseção com o eixo
(colocar ):
Então a interseção com o eixo
é
.
Esses dois pontos são fundamentais: a curva começa em
e cruza o eixo
em
.
Passo 5
Calcular alguns pontos adicionais para orientar o traço do gráfico (escolher
que geram raízes inteiras facilita):
- Para
. Ponto . - Para
. Ponto . - Para
. Ponto . - Para
. Ponto .
Didática: escolher
quadrados perfeitos dá valores de
inteiros, o que facilita desenhar.
Passo 6
Descrever a forma da curva e comportamento:
- A função é crescente para
: conforme aumenta, aumenta, logo também aumenta. - A taxa de aumento diminui com
: a raiz cresce mais rápido perto de e mais lentamente quando é grande. Uma forma de ver isso é a derivada (apenas para intuição): para ,
que é grande quando
é pequeno e tende a
quando
. Isso explica por que a curva sai “íngreme” perto de
e vai ficando mais suave para a direita.
Explicação simples: a curva tem início em
, sobe passando por
e vai subindo cada vez mais devagar, sem nunca virar para baixo.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (técnica prática que dá para usar na prova sem calculadora):
- Desenhar os eixos
e e marcar os pontos inteiros úteis. - Marcar os pontos
(todos calculados antes). - Ligar esses pontos com uma curva suave que começa exatamente em
e segue para a direita subindo lentamente, lembrando que a inclinação é maior perto da origem e diminui depois. - Não desenhar nada para
(a função não existe ali). Colocar uma bolinha fechada em para indicar que o ponto pertence ao gráfico. - Opcional: escrever perto da curva a fórmula
e marcar o domínio .
Passo 8
Interpretação por transformações (para fixar a ideia): a curva é justamente o gráfico de
deslocado verticalmente 1 unidade para baixo. Se lembrar do gráfico padrão de
(começa em
e é crescente), basta deslocar tudo para baixo até que
vire
.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: curva que começa em , passa por
,
,
, é crescente e fica cada vez mais suave para
.
Esboço do gráfico: curva que começa em