Exemplo 28. Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: dar o domínio da função e esboçar o gráfico da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função fornecida é
. - O pedido é: (1) determinar o domínio; (2) esboçar o gráfico (mostrar como fica a curva no plano cartesiano).
- Há uma imagem anexa com uma grade e os eixos marcados (ver seção de imagens no final).
Passo 2
Entender o que é
(a raiz cúbica) e como ela se comporta.
- A raiz cúbica de
, escrita , é o número que elevado ao cubo dá . Por exemplo, porque , e porque . - Importante: a raiz cúbica é uma “raiz ímpar” (índice
é ímpar). Para raízes de índice ímpar, não existe restrição de sinal: qualquer número real tem uma raiz cúbica real. Logo, não há necessidade de exigir (isso só seria necessário para raízes de índice par, como ).
Passo 3
Determinar o domínio com base no entendimento da raiz cúbica.
- Pelo que vimos,
está definida para todo . - Subtrair
(ou qualquer constante) não cria restrição nova no domínio. - Portanto o domínio é todos os números reais:
Passo 4
Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores que
pode assumir) — isto ajuda no esboço.
- A função
tem imagem (assume todos os valores reais). - Ao subtrair
, a imagem também é deslocada em mas continua sendo toda a reta real. - Logo o conjunto imagem (range) é
Passo 5
Como esboçar: pensamento por transformações.
- Comece pelo gráfico básico
. Essa curva: - É crescente para todo
. - Passa por
, por e por . - Tem uma inflexão no ponto
(o ramo passa de crescente suave para crescente suave do outro lado). - À medida que
, ; quando , .
- É crescente para todo
- A função dada é
, que é exatamente o gráfico de deslocado verticalmente para baixo em unidade. - Consequência prática: pontos importantes deslocam-se
. Assim: -
vira . -
vira . -
vira . - Mais exemplos: para
, então ; para , então .
-
Passo 6
Construir uma tabela de pontos simples para plotar (isso ajuda a desenhar sem calculadora).
- Escolher
fáceis cujas raízes cúbicas sejam inteiras: -
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: .
-
- Marque esses pontos no plano e ligue-os por uma curva suave, crescente, com a forma característica da raiz cúbica, passando pelos pontos indicados.
Passo 7
Detalhes do esboço e comportamento da curva (para fazer um desenho com cara certa).
- Ponto de inflexão (onde a concavidade muda) fica em
— é o “centro” da curva deslocada. - Não há assíntotas; a curva atravessa toda a reta verticalmente de forma contínua.
- Para desenhar bem: perto de
a curva sobe/desce mais “rápido” (tende a ter tangente verticalmente mais inclinada), e para grande a curva cresce devagarmente como . - Conecte os pontos da tabela com uma linha suave, garantindo que a curva é estritamente crescente e passa pelos pontos calculados.
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que você precisa escrever rápido):
- Domínio:
. - Imagem (range):
. - Esboço: desenhar a curva de
e deslocá‑la uma unidade para baixo; marcar , , e conectar de forma suave e crescente.
Resposta
Domínio:
Imagem (intervalo de valores de ):
Imagem (intervalo de valores de