Exemplo 28. Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\sqrt[3]{x}-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: dar o domínio da função e esboçar o gráfico da função
y=\sqrt[3]{x}-1.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função fornecida é y=\sqrt[3]{x}-1.
  • O pedido é: (1) determinar o domínio; (2) esboçar o gráfico (mostrar como fica a curva no plano cartesiano).
  • Há uma imagem anexa com uma grade e os eixos marcados (ver seção de imagens no final).

Passo 2

Entender o que é \sqrt[3]{x} (a raiz cúbica) e como ela se comporta.
  • A raiz cúbica de x, escrita \sqrt[3]{x}, é o número que elevado ao cubo dá x. Por exemplo, \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8, e \sqrt[3]{-1}=-1 porque (-1)^3=-1.
  • Importante: a raiz cúbica é uma “raiz ímpar” (índice 3 é ímpar). Para raízes de índice ímpar, não existe restrição de sinal: qualquer número real x tem uma raiz cúbica real. Logo, não há necessidade de exigir x\ge 0 (isso só seria necessário para raízes de índice par, como \sqrt{x}).

Passo 3

Determinar o domínio com base no entendimento da raiz cúbica.
  • Pelo que vimos, \sqrt[3]{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Subtrair 1 (ou qualquer constante) não cria restrição nova no domínio.
  • Portanto o domínio é todos os números reais:
\text{Domínio}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 4

Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores que y pode assumir) — isto ajuda no esboço.
  • A função x\mapsto \sqrt[3]{x} tem imagem \mathbb{R} (assume todos os valores reais).
  • Ao subtrair 1, a imagem também é deslocada em -1 mas continua sendo toda a reta real.
  • Logo o conjunto imagem (range) é
\text{Imagem}=\left(-\infty,\infty\right).

Passo 5

Como esboçar: pensamento por transformações.
  • Comece pelo gráfico básico y=\sqrt[3]{x}. Essa curva:
    • É crescente para todo x.
    • Passa por (0,0), por (1,1) e por (-1,-1).
    • Tem uma inflexão no ponto (0,0) (o ramo passa de crescente suave para crescente suave do outro lado).
    • À medida que x\to\infty, \sqrt[3]{x}\to\infty; quando x\to -\infty, \sqrt[3]{x}\to -\infty.
  • A função dada é y=\sqrt[3]{x}-1, que é exatamente o gráfico de y=\sqrt[3]{x} deslocado verticalmente para baixo em 1 unidade.
  • Consequência prática: pontos importantes deslocam-se (x,y)\mapsto(x,y-1). Assim:
    • (0,0) vira (0,-1).
    • (1,1) vira (1,0).
    • (-1,-1) vira (-1,-2).
    • Mais exemplos: para x=8, \sqrt[3]{8}=2 então y=2-1=1; para x=-8, \sqrt[3]{-8}=-2 então y=-2-1=-3.

Passo 6

Construir uma tabela de pontos simples para plotar (isso ajuda a desenhar sem calculadora).
  • Escolher x fáceis cujas raízes cúbicas sejam inteiras:
    • x=-8\Rightarrow \sqrt[3]{-8}=-2 \Rightarrow y=-3. Ponto: (-8,-3).
    • x=-1\Rightarrow \sqrt[3]{-1}=-1 \Rightarrow y=-2. Ponto: (-1,-2).
    • x=0\Rightarrow \sqrt[3]{0}=0 \Rightarrow y=-1. Ponto: (0,-1).
    • x=1\Rightarrow \sqrt[3]{1}=1 \Rightarrow y=0. Ponto: (1,0).
    • x=8\Rightarrow \sqrt[3]{8}=2 \Rightarrow y=1. Ponto: (8,1).
  • Marque esses pontos no plano e ligue-os por uma curva suave, crescente, com a forma característica da raiz cúbica, passando pelos pontos indicados.

Passo 7

Detalhes do esboço e comportamento da curva (para fazer um desenho com cara certa).
  • Ponto de inflexão (onde a concavidade muda) fica em (0,-1) — é o “centro” da curva deslocada.
  • Não há assíntotas; a curva atravessa toda a reta verticalmente de forma contínua.
  • Para desenhar bem: perto de x=0 a curva sobe/desce mais “rápido” (tende a ter tangente verticalmente mais inclinada), e para |x| grande a curva cresce devagarmente como x^{1/3}.
  • Conecte os pontos da tabela com uma linha suave, garantindo que a curva é estritamente crescente e passa pelos pontos calculados.

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que você precisa escrever rápido):
  • Domínio: \left(-\infty,\infty\right).
  • Imagem (range): \left(-\infty,\infty\right).
  • Esboço: desenhar a curva de y=\sqrt[3]{x} e deslocá‑la uma unidade para baixo; marcar (-1,-2), (0,-1), (1,0) e conectar de forma suave e crescente.

Resposta

Domínio: \left(-\infty,\infty\right)
Imagem (intervalo de valores de y): \left(-\infty,\infty\right)

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