Exemplo 28-2 Reatância Indutiva

A queda de potencial em um indutor de 40,0 \mathrm{mH} é senoidal e tem uma queda de potencial rms de 120 V . Determine a reatância indutiva e a corrente rms quando a freqüência é (a) 60,0 Hz e (b) 2000 Hz .
Extra: (c) Qual a potência média e a potência pico fornecida pelo gerador ao indutor?
(d) Repita de (a) a (c) para um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F}.

Passo 1

O enunciado dá um indutor de L=40{,}0\\ \mathrm{mH} conectado a uma fonte senoidal com tensão eficaz V_{\text{rms}}=120\\ \mathrm{V}. Pede-se:
– (a) e (b) a reatância indutiva X_L e a corrente eficaz I_{\text{rms}} nas frequências f=60{,}0\\ \mathrm{Hz} e f=2000\\ \mathrm{Hz}.
– (c) a potência média e a potência de pico fornecidas pelo gerador ao indutor.
– (d) repetir (a)–(c) para um capacitor de C=10\\ \mu\mathrm{F}.
Conteúdo: reatâncias X_L=2\pi fL e X_C=1/(2\pi fC), corrente I_{\text{rms}}=V_{\text{rms}}/X, potência em carga reativa.

Passo 2

Para o indutor, a reatância indutiva é
X_L = 2\pi f L.
Em f=60{,}0\\ \mathrm{Hz} e L=40{,}0\,\mathrm{mH}=0{,}0400\,\mathrm{H},
X_L = 2\pi\,(60{,}0)\,(0{,}0400)=15{,}08\\ \Omega.
Logo a corrente eficaz é
I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_L} = \frac{120}{15{,}08}=7{,}96\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Mantendo L, agora em f=2000\\ \mathrm{Hz}:
X_L = 2\pi\,(2000)\,(0{,}0400)=502{,}65\\ \Omega,
I_{\text{rms}} = \frac{120}{502{,}65}=0{,}239\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Em uma carga puramente indutiva a potência média é nula porque não há dissipação. A potência instantânea oscila com valor máximo dado por
P_{\text{pico}} = \frac{V_m\,I_m}{2},
onde V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}} e I_m=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}. Então
P_{\text{pico}} = V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}}.
Para f=60{,}0\\ \mathrm{Hz}:
P_{\text{média}}=0,\quad P_{\text{pico}}=120\cdot7{,}96=955{,}2\\ \mathrm{W}.é
Para f=2000\\ \mathrm{Hz}:
P_{\text{média}}=0,\quad P_{\text{pico}}=120\cdot0{,}239=28{,}7\\ \mathrm{W}.é

Passo 5

Agora o capacitor de C=10\,\mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\,\mathrm{F}. A reatância capacitiva é
X_C = \frac{1}{2\pi f C}.
Em f=60{,}0\\ \mathrm{Hz}:
X_C = \frac{1}{2\pi\,(60{,}0)\,(10\times10^{-6})} =265{,}3\\ \Omega,
I_{\text{rms}} = \frac{120}{265{,}3}=0{,}452\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Em f=2000\\ \mathrm{Hz}:
X_C = \frac{1}{2\pi\,(2000)\,(10\times10^{-6})} =7{,}96\\ \Omega,
I_{\text{rms}} = \frac{120}{7{,}96}=15{,}08\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Para o capacitor, também não há potência média mas há potência de pico igual a
P_{\text{pico}}=V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}}.
Em 60{,}0\\ \mathrm{Hz}:
P_{\text{média}}=0,\quad P_{\text{pico}}=120\cdot0{,}452=54{,}2\\ \mathrm{W}.é
Em 2000\\ \mathrm{Hz}:
P_{\text{média}}=0,\quad P_{\text{pico}}=120\cdot15{,}08=1809{,}6\\ \mathrm{W}.é

Resposta

(a) Para o indutor em [60{,}0\ \mathrm{Hz}): X_L=15{,}08\\ \Omega,\quad I_{\text{rms}}=7{,}96\\ \mathrm{A}.
(b) Em 2000\\ \mathrm{Hz}: X_L=502{,}65\\ \Omega,\quad I_{\text{rms}}=0{,}239\\ \mathrm{A}.
(c) Indutor: (P_{média}=0,\quad P_{pico}=V_{rms},I_{rms} = \begin{cases}955{,}2\\ \mathrm{W}&(60\\ \mathrm{Hz}),\\\ 28{,}7\\ \mathrm{W}&(2000\\ \mathrm{Hz}).\end{cases}]
(d) Capacitor C=10\,\mu\mathrm{F}:
– Em 60{,}0\\ \mathrm{Hz}: X_C=265{,}3\\ \Omega,\\ I_{\text{rms}}=0{,}452\\ \mathrm{A},\\ P_{\text{média}}=0,\\ P_{\text{pico}}=54{,}2\\ \mathrm{W}.é
– Em 2000\\ \mathrm{Hz}: X_C=7{,}96\\ \Omega,\\ I_{\text{rms}}=15{,}08\\ \mathrm{A},\\ P_{\text{média}}=0,\\ P_{\text{pico}}=1809{,}6\\ \mathrm{W}.é

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