Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\displaystyle \int \frac{x}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição, pois o denominador e sua derivada aparecem na integral.

Passo 2

Para simplificar, definimos a substituição
u = 1 + 4x^{2}
Isso gera
du = 8x\,dx
Logo podemos escrever
\,x\,dx = \tfrac{1}{8}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac{1}{8}\,du
Isso equivale a
\tfrac{1}{8}\int u^{-2}\,du

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrar u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C
Multiplicando por \tfrac{1}{8}, obtemos
-\tfrac{1}{8}\,u^{-1} + C
Voltando à variável x, fica
-\frac{1}{8\,(1+4x^{2})} + C

Resposta

-\displaystyle \frac{1}{8\,(1+4x^{2})} + C

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