Exemplo 32. Considere a função f(x, y)=x^{2}+y. O gradiente em um ponto ( x, y ) é dado por \nabla f(x, y)=(2 x, 1), em particular \nabla f(1,1)=(2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=x^{2}+y\, e afirmam que o gradiente em um ponto (x,y) é \nabla f(x,y)=(2x,1), e em particular \nabla f(1,1)=(2,1).\n\nO que precisamos conferir/retornar: qual é o gradiente de f em (1,1) — ou seja, calcular/confirmar \nabla f(1,1).\n\nInformações fornecidas pelo enunciado:\n- A expressão da função: \,f(x,y)=x^{2}+y\,.\n- A afirmação de qual seria o gradiente geral: \nabla f(x,y)=(2x,1).\n- O ponto de interesse: (1,1).

Passo 2

Primeiro conceito importante (passo-a-passo): o que é derivada parcial em x.\n\nDefinição intuitiva: para calcular a derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como uma constante e diferenciamos a função como se fosse de uma única variável x. Isso mede a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo.\n\nAplicando à nossa função: considere \,g(x)=f(x,y)=x^{2}+y\, com y fixo. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x e a derivada de y (constante) é 0. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
Explicando por que a derivada de x^{2} é 2x (um mini-aula):\n\nRegra usada: se h(x)=x^{n} com n inteiro, então h'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=2, logo d(x^{2})/dx=2x. Não houve nada de especial com y porque o termo y é tratado como constante quando derivamos em relação a x.

Passo 3

Agora a derivada parcial em y. Definição intuitiva: \frac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação de f quando só mudamos y e mantemos x fixo. Tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.\n\nAplicando à função \,f(x,y)=x^{2}+y\,: o termo x^{2} é constante em relação a y, então sua derivada é 0. A derivada de y em relação a y é 1. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1.

Passo 4

Formando o gradiente: por definição, o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Substituindo as derivadas que encontramos:
\nabla f(x,y)=(2x,1).
Isto confirma a expressão que o enunciado forneceu.

Passo 5

Avaliação do gradiente no ponto (1,1): basta substituir x=1 (o valor de y não altera a segunda componente porque ela é constante 1). Assim,
\nabla f(1,1)=(2\cdot 1,\,1)=(2,1).

Passo 6

Interpretação prática e dicas para prova (como usar esse resultado):\n\n- A componente 2 (primeira componente do gradiente) significa que, no ponto (1,1), se eu aumentar x numa unidade pequena mantendo y fixo, f aumenta aproximadamente 2 unidades por essa variação.\n- A componente 1 significa que, se eu aumentar y uma unidade pequena mantendo x fixo, f aumenta aproximadamente 1 unidade.\n- Direcionalmente: para um vetor unitário \,u=(u_{1},u_{2}), a derivada direcional de f em (1,1) na direção u é o produto escalar \nabla f(1,1)\cdot u=2u_{1}+1u_{2}.\n- A direção de máximo crescimento é a própria direção do gradiente (2,1). O ritmo máximo de crescimento é o módulo do gradiente \sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.\n- Aproximação linear (plano tangente) que costuma cair em prova: primeiro calcule f(1,1)=1^{2}+1=2. A linearização em torno de (1,1) é
L(x,y)=2+2(x-1)+1(y-1).
Isto é útil para estimar valores próximos de (1,1) sem calcular a função exata.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (faça isso na prova se tiver tempo curto):\n\n- Direção eixo x unitário u=(1,0): derivada direcional é 2. Interprete: o maior ganho mantendo y fixo e movendo para positivo em x é 2 por unidade.\n- Direção eixo y unitário u=(0,1): derivada direcional é 1.\n- Direção do próprio gradiente (vetor (2,1) normalizado) a derivada direcional é \sqrt{5}, o valor máximo.

Resposta

(2,1)

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