Exemplo 32. Considere a função
. O gradiente em um ponto (
) é dado por
, em particular
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirmam que o gradiente em um ponto
é
, e em particular
.\n\nO que precisamos conferir/retornar: qual é o gradiente de
em
— ou seja, calcular/confirmar
.\n\nInformações fornecidas pelo enunciado:\n- A expressão da função:
\n- A afirmação de qual seria o gradiente geral:
.\n- O ponto de interesse:
.
Passo 2
Primeiro conceito importante (passo-a-passo): o que é derivada parcial em
.\n\nDefinição intuitiva: para calcular a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, tratamos
como uma constante e diferenciamos a função como se fosse de uma única variável
. Isso mede a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo.\n\nAplicando à nossa função: considere
com
fixo. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
(constante) é
. Portanto,
Explicando por que a derivada de
é
(um mini-aula):\n\nRegra usada: se
com
inteiro, então
. Aqui
, logo
. Não houve nada de especial com
porque o termo
é tratado como constante quando derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora a derivada parcial em
. Definição intuitiva:
mede a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. Tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
.\n\nAplicando à função
: o termo
é constante em relação a
, então sua derivada é
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto,
Passo 4
Formando o gradiente: por definição, o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Isto confirma a expressão que o enunciado forneceu.
Passo 5
Avaliação do gradiente no ponto
: basta substituir
(o valor de
não altera a segunda componente porque ela é constante
). Assim,
Passo 6
Interpretação prática e dicas para prova (como usar esse resultado):\n\n- A componente
(primeira componente do gradiente) significa que, no ponto
, se eu aumentar
numa unidade pequena mantendo
fixo,
aumenta aproximadamente
unidades por essa variação.\n- A componente
significa que, se eu aumentar
uma unidade pequena mantendo
fixo,
aumenta aproximadamente
unidade.\n- Direcionalmente: para um vetor unitário
, a derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar
.\n- A direção de máximo crescimento é a própria direção do gradiente
. O ritmo máximo de crescimento é o módulo do gradiente
.\n- Aproximação linear (plano tangente) que costuma cair em prova: primeiro calcule
. A linearização em torno de
é
Isto é útil para estimar valores próximos de
sem calcular a função exata.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (faça isso na prova se tiver tempo curto):\n\n- Direção eixo
unitário
: derivada direcional é
. Interprete: o maior ganho mantendo
fixo e movendo para positivo em
é 2 por unidade.\n- Direção eixo
unitário
: derivada direcional é
.\n- Direção do próprio gradiente (vetor
normalizado) a derivada direcional é
, o valor máximo.